复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）10 二次型（第八章）

高等代数(上海市精品课程,制作人:朱胜 +,mazhusl@fudan.edu.cn

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第八章 次型 办公空 光华东楼1708 办公电话 55664896 我的信息 办公时间 周二下午1:30-3:30 电子邮件 mazhusl@fudan. edu.c 个人主了 homepage. fudan. edu. cn/zhusI 本课程主 jpkc. fudan. edu. cn/s/100/

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复其矩陣表 二次型及其矩阵表示 平面上的一条曲线的形状由其纯二次部分确定。 定义(二次型) 数域K上的关于变量x1,…,xn的二次齐次多项式 f(x1x2,…,xn)=a1x+a12x1x2+…+a1nx1xn +a22+…+a2nx2xn 称为K上的一个二次型。 设A=(a)nxn,x=(x1,…,xn), 则xAx==141x2+Xsin(+4)xx

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1lÙg. g.9ÙÝ L« g.9ÙÝ L« ²¡þ^­‚/GdÙXgÜ©(½" ½Â (g.) ê K þ'uCþ x1, · · · , xn gàgõ‘ª f(x1 , x2, · · · , xn) = a11x 2 1 + a12x1x2 + · · · + a1nx1xn +a22x 2 2 + · · · + a2nx2xn + · · · + annx 2 n ¡ K þ‡g." ~  A = ￾ aij
n×n§x = (x1, . . . , xn) ′§ K x ′Ax = ∑ n i=1 aiix 2 i + ∑ n 1≤i<j≤n ￾ aij + aji
xixj"

复其矩陣表 二次型及其矩阵表示 当数域K为实数域时,若f(x1,x2,…,xn)为一个二次型,在所有满 足f(x1,x2…,xn)=xAx的矩阵A中,我们取一个实对称矩阵,称 为这个二次型所对应的(实对称)矩阵。即把x2前的系数置 于(i)项上,将xx前的系数各取一半分别置于(,)项和(i)项 〔i≠j时),这样得到的矩阵就是该二次型的矩阵。这样二次型与其 矩阵是相互唯一决定的。 设xAx为二次型,P=(b)n为一个可逆阵,则在变 换P1x=y,或等价地,(x=Py)下 x'Ax=(Py)APy=y(PAP)y 为实对称矩阵)%的二次型,原二次型所对应的矩阵变为PAP(仍 所以看成Ⅵ1 定义(合同关系) 设A、B为实对称矩阵,且存在一个可逆矩阵P,使得PAP=B,则 称矩阵A、B合同

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1lÙg. g.9ÙÝ L« g.9ÙÝ L« ê K ¢êž§e f(x1 , x2, · · · , xn) ‡g.§3¤k÷ v f(x1, x2, · · · , xn) = x ′Ax Ý A ¥§·‚‡¢é¡Ý §¡ ù‡g.¤éA£¢é¡¤Ý "=r x 2 i cXê u (i, i)-‘þ§ò xixj cXꈌ©Ou (i, j)-‘Ú(j, i)-‘ £ i 6= j ž¤§ùÝ Ò´Tg.Ý "ùg.†Ù Ý ´ƒpû½"  x ′Ax g.§P = ￾ bij
n×n ‡Œ_ §K3C † P −1x = y, ½d/§(x = Py) e x ′Ax = (Py) ′ APy = y ′ ￾ P ′AP
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复其矩陣表 二次型及其矩阵表示 合同是对称矩阵之间的一个关系,具有 ◎自反性:任意实对称矩阵A,都有A与自身合同 ρ对称性:如果实对称矩阵A与B合同,则B与A合同 ③传递性:如果实对称矩阵A与B合同,B与C合同, 则A与C合同。 所以,二次型经过可逆的线性变换后,新二次型的矩阵与原二次型的 矩阵是合同的。 在涉及几何形状时,我们讨论的二次型的变换一般取正交变换。从几 何观点上来看,这样的变换是保持长度、角度,因此保持几何形态 变换

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二次型的化简 在讨论一个二次曲线或二次曲面时,如果想知道它的形状,需要把其 二次部分(二次型)化成无交叉项的形式。 定义(二次型的标准型、规范型 设二次型f(x1,x2,……,xn)=x!Ax经由线性变换x=Py,这里P是 个可逆矩阵,化为 d1yi+a2y2+…+dnv2 则称1y+d2v+…+dnv为f(x1,x2,…,xn)的一个标准型,若 标准型中的山取值为±1和0,则称之为f(x1,x2,……,xn)的规范型。 化二次型为标准型的过程,实际上就是在一个实对称矩阵的合同矩阵 中找一个对角阵的过程。 定理 任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵

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二次型的化简 化二次型为标淮型的方法一般有三种,(1)配方法,(2)初等变换 法,(3)正交相似法。 配方法在处理简单的例子时可以采用,但更常用的方法是初等变换 做法的程序化规则如下(设A是要合同对角化的n阶对称阵) 0将A和Ln并列,形成一个n×(2n)阶矩阵(Aln), ⊙对该矩阵实施类似于求阶梯形的初等行变换,要点:实施一次初 等行变换后,在对其实施下一次初等行变换前,先对矩阵的 前n列实施一次相应的初等列变换 0最后当矩阵(An)经过这样的成对的初等变换后若化 成(BQ),其中B为一个对角阵,则取P=Q, 有PAQ=B为对角阵!

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例 已知二次型f(x,x2,x3)=xAx在正交变换x=Qy下的标准型 为好+且Q的第三列为(0方)·求矩阵A并证明A+E正定 证明:Q的其它两列均对应到特征值1,第三列对应到特征值0,所以相互正 交,于是前两列可通过解/11 x=0得到,解得 c1(0,1,0)+c2(-1.0,1) 标准正交化后有,记Q=1 0|.则AQ=Qdag(1,1,0), 0 所以A=Qds10=12 2 2

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1lÙg. g.z{ ~ ®g. f (x1 , x2, x3) = x TAx 3C† x = Qy eIO.  y 2 1 + y 2 2 … Q 1n  1 √ 2 , 0, 1 √ 2 T "¦Ý A ¿y² A + E ½" y²µ Q Ù§üþéAAŠ 1§1néAAŠ 0§¤±ƒp §u´cüŒÏL)  1 √ 2 , 0, 1 √ 2  x = 0 §) c1 (0, 1, 0) ′ + c2 (−1, 0, 1) ′ § IOz￾k§P Q =   0 − 1 2 √ 2 1 2 √ 2 1 0 0 0 1 2 √ 2 1 2 √ 2   §K AQ = Q diag (1, 1, 0)§ ¤± A = Q diag (1, 1, 0) Q′ =   1 2 0 − 1 2 0 1 0 − 1 2 0 1 2   "

惯性定理 因为矩阵左右乘一个可逆矩阵的秩不变,所以化成标准型后对角元的 非零项个数等于原矩阵的秩,这个数不依赖于合同矩阵的选取。 不仅如此,在实数域上,对角元中正数的个数也是不变的(不依赖于 合同实阵的选取〕,这一点就称为二次型的惯性定理。 定理(惯性定理) R上的一个二次型,总可以经过合同变换化为规范型,并且两个不同 合同变换所得到的规范型中的正系数(负系数、零系数)的个数相 同 称一个实二次型的规范型中正系数的个数为其正惯性指数,负系数的 个数为其负惯性指数,正负惯性指数之差称为符号差 由于有√一1=i的存在,复数域上的二次型的规范型中只有系 数1和0出现,惯性定理变为系数1的个数不依赖于使用的变换

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1lÙg. .5½n .5½n ÏÝ †m¦‡Œ_Ý ØC§¤±z¤IO.￾é š"‘‡êuÝ §ù‡ê؝6uÜÓÝ À" Ø=Xd§3¢êþ§é¥ê‡ê´ØC£Ø6u ÜÓ¢ À¤§ù:Ò¡g..5½n" ½n (.5½n) R þ‡g.§oŒ±²LÜÓC†z5‰.§¿…ü‡ØÓ ÜÓC†¤5‰.¥Xê£KXê!"Xê¤‡êƒ Ó" ¡‡¢g.5‰.¥Xê‡êÙ.5ê§KXê ‡êÙK.5ê§K.5êƒ¡ÎÒ" duk √ −1 = i 3§Eêþg.5‰.¥kX ê 1 Ú 0 Ñy§.5½nCXê 1 ‡ê؝6u¦^C†"

惯性定理 设f(x)=ax2+an2+(a-1)23+2x1x3-2x2x3; 0求f的矩阵的所有特征值; 0若f的标准型为y+y2,求a。 0 解:对应的矩阵A=0a-1,det(A-A3)= (A-a-1)(A-a)(A-a+2)=0,解得A的值 为a-2<a<a+1。如果标准型为y+y,则特征值必为一个零, 两个正值,于是有a=2

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1lÙg. .5½n .5½n ~  f (x) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1) x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3¶ 1 ¦ f Ý ¤kAŠ¶ 2 e f IO. y 2 1 + y 2 2§¦ a" )µ éAÝ A =   a 0 1 0 a −1 1 −1 a − 1  §det(A − λI3) = − (λ − a − 1) (λ − a) (λ − a + 2) = 0§) λ Š  a − 2 < a < a + 1"XJIO. y 2 1 + y 2 2§KAŠ7‡"§ ü‡Š§u´k a = 2"