复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）09 相似标准型（第七章）

高等代数(上海市精品课程,制作人:朱胜 +,mazhusl@fudan.edu.cn

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第七章 相似标准型 办公空 光华东楼1708 办公电话 55664896 我的信息 办公时间 周二下午1:30一3:30 mazhusl@fudan.edu.cn 朱胜林 个人主页 homepage. fudan. edu. cn/zhusi 本课程主 fudan. edu. cn /s/100

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七章相似标准型 多项式矩阵 在本节中,设λ是一个未定元,多项式在未指明的情况下是指λ的多项式。 定义 由数域K上λ的多项式作为项构成矩阵称为λ-矩阵,有时也称为A的多项 式矩阵。λ-矩阵的加、减、乘、行列式等运算如同K中矩阵的相应运算一样 定义。 λ-矩阵的许多运算性质在不涉及多项式的逆的情况下和项全部为数域K的数 的矩阵的性质基本相同。为方便计,称数域K的数的矩阵为数字矩阵。 一个λ矩阵总是可写成一个矩阵多项式,即以“矩阵作为系数”的多项式。如 22+3+1-34+ )=86+(3)+(2

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七章相似标准型 多项式矩阵 定义(初等行(列)变换) 对于一个λ-矩阵,下列变换称为初等变换 将两行(列)对换 ρ对矩阵的一行(列)乘上非零常数; ③将矩阵的一行(列)的多项式倍加到另一行(列)。 个矩阵A(λ)在实施了若干次上述的初等变换后得到矩阵B(λ),则 称A(λ)与B(λ)作为λ-矩阵相抵。n阶单位阵L经过一次初等变換 得到的矩阵称为初等矩阵。如同数字矩阵一样,我们仍有“左行右 列”的说法 定理(左行右列原则) 对一个λ-矩阵左乘一个初等矩阵,其结果相当于实施了一次相应的初 等行变换;对一个λ-矩阵右乘一个初等矩阵,其结果相当于实施了 次相应的初等列变换

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔكqIO. õ‘ªÝ õ‘ªÝ ½Â (Ð1£¤C†) éu‡ λ-Ý §eC†¡ÐC† 1 òü1£¤é†¶ 2 éÝ 1£¤¦þš"~ê¶ 3 òÝ 1£¤õ‘ª\,1£¤" ‡Ý A (λ) 3¢ eZgþãÐC†￾Ý B (λ)§K ¡ A (λ) † B (λ) Š λ-Ý ƒ-"n ü  In ²LgÐC† Ý ¡ÐÝ "XÓêiÝ §·‚Ek“†1m ”`{µ ½n (†1mK) é‡ λ-Ý †¦‡ÐÝ §Ù(Jƒu¢ gƒAÐ 1C†¶é‡ λ-Ý m¦‡ÐÝ §Ù(Jƒu¢ gƒAÐC†"

七章相似标准型 若一个λ-方阵的逆矩阵也是λ-矩阵,则称该方阵为可逆的λ-矩阵。 定义(可逆A-矩阵) 设A(A)是一个n阶λ-方阵,如果存在一个n阶A-方阵B(A),成立 A()B()=B()A()=In 则称A(λ)为一个可逆λ-矩阵,矩阵B(λ)称为A(A)的逆矩阵,记 为A-1(A)。 通过矩阵与其伴随矩阵的乘积的等式,以及矩阵乘积的行列式与行列 式之积相等,我们得到: 定理 一个n阶A-方阵A(A)可逆当且仅当A(A)的行列式|A(A)∈K是 个非零数。 初等矩阵都是可逆矩阵。在下一节我们会看到:一个λ-矩阵可逆当且 仅当它是初等矩阵之积,且两个A-矩阵A(A)、B(A)相抵当且仅当存 在可逆的λ-矩阵P(λ)和Q(A),使得 P(A)A(A)Q(A)=B(A)

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔكqIO. õ‘ªÝ e‡ λ- _Ý ´ λ-Ý §K¡T Œ_ λ-Ý " ½Â (Œ_ λ-Ý )  A(λ) ´‡ n  λ- §XJ3‡ n  λ- B(λ)§¤á A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = In§ K¡ A (λ) ‡Œ_ λ-Ý §Ý B(λ) ¡ A(λ) _Ý §P  A −1 (λ)" ÏLÝ †ÙŠ‘Ý ¦Èª§±9Ý ¦È1ª†1 ªƒÈƒ§·‚µ ½n ‡ n  λ- A(λ) Œ_…= A (λ) 1ª |A(λ)| ∈ K ´ ‡š"ê" ÐÝ Ñ´Œ_Ý "3e!·‚¬wµ‡ λ-Ý Œ_… =§´ÐÝ ƒÈ§…ü‡ λ-Ý A (λ)!B (λ) ƒ-…= 3Œ_ λ-Ý P (λ) Ú Q (λ)§¦ P (λ) A (λ) Q (λ) = B (λ) "

七章相似标准型 两个矩阵多项式有时也可以进行类似于数字矩阵的带余除法,但条件 是作为“除数”的矩阵多项式的“首项”矩阵是可逆矩阵 引理 设A(A)和B(4)都是n阶A-方阵, 且B(A)=ABm+Am-1Bm-1+…+AB1+B0的表达式中的Bm是 可逆阵,则必存在唯一的λ矩阵Q(λ)和R(A),使得 A()=B()Q()+R() 其中矩阵R(Aλ)的每一项的次数均小于 同时也存在唯一的λ矩阵Q()和R(A),使得 A()=Q(B()+R(), 其中矩阵R(A)的每一项的次数均小于m

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔكqIO. õ‘ªÝ ü‡Ý õ‘ªkžŒ±?1aquêiÝ ‘{Ø{§^‡ ´Š“Øê”Ý õ‘ª“đ”Ý ´Œ_Ý " Ún  A (λ) Ú B (λ) Ñ´ n  λ- § … B (λ) = λ mBm + λ m−1Bm−1 + · · · + λB1 + B0 Lˆª¥ Bm ´ Œ_ §K73 λ-Ý Q (λ) Ú R (λ)§¦ A (λ) = B (λ) Q (λ) + R (λ) § Ù¥Ý R (λ) z‘gêþu m¶ Ӟ3 λ-Ý Q (λ) Ú R (λ)§¦ A (λ) = Q (λ)B (λ) + R (λ)§ Ù¥Ý R (λ) z‘gêþu m"

七章相似标准型 引理 设A、B为K上n阶方阵,若存在n阶方阵P、Q,满足 AIn-A= P(In-B)Q 则A和B相似 有了以上的准备工作,我们就得到了这一节最重要定理。这个定理也 是以λ-矩阵方法推导出 Jordan标准型理论的重要依据。 定理(数域K上矩阵相似与其A-矩阵相抵的关系) 设A、B是数域K上的n阶方阵,则A、B相似的充分必要条件是相 应的λ-矩阵An2-A与An-B相抵(作为λ-矩阵)。 下面一个结论的证明留在以后,这里先叙述结论。 推论 设数域KCL,并且A、B均为K上的同阶方阵,若A、B在数 域L中相似,则必在数域K中相似

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔكqIO. õ‘ªÝ Ún  A!B  K þ n  §e3 n  P!Q§÷v λIn − A = P(λIn − B)Q§ K A Ú B ƒq" k ±þO󊧷‚Ò ù!­‡½n"ù‡½n ´± λ-Ý {íÑ Jordan IO.nØ­‡â" ½n (ê K þÝ ƒq†Ù λ-Ý ƒ-'X)  A!B ´ê K þ n  §K A!B ƒq¿©7‡^‡´ƒ A λ-Ý λIn − A † λIn − B ƒ-£Š λ-Ý ¤" e¡‡(Øy²33±￾§ùpkQã(Ø" íØ ê K ⊆ L§¿… A!B þ K þӐ §e A!B 3ê  L ¥ƒq§K73ê K ¥ƒq"

对于K上的矩阵,我们知道相抵的矩阵中有一个标准型 于入矩阵来说,因为并不是所有的非零多项式在K闪小]中可逆,所以 其标准型略微有些区别。这一节,我们导出λ-矩阵的相抵标准型,并 在下一节中证明该标准型是唯一的。 引理 设A(A)=(a(A)mn是一个非零入矩阵中,则A(A)必相抵于 个A矩阵B(4)=(b(A)mxn,其中bn(A)整除B(A)中的每一项。 证明: 对k=min{dega(A)|(4)≠0i=1,…,m=1,…,n}归纳。 这个引理可导出λ-矩阵的相抵标准型

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔكqIO. Ý {ª éu K þÝ §·‚ƒ-Ý ¥k‡IO.  Ir 0 0 0 §é u λ-Ý 5`§Ï¿Ø´¤kš"õ‘ª3 K [λ] ¥Œ_§¤± ÙIO.чk «O"ù!§·‚Ñ λ-Ý ƒ-IO.§¿ 3e!¥y²TIO.´" Ún  A(λ) = ￾ aij (λ)
m×n ´‡š" λ-Ý ¥§K A(λ) 7ƒ-u ‡ λ-Ý B(λ) = ￾ bij (λ)
m×n§Ù¥ b11 (λ) Ø B (λ) ¥z‘" y²µ é k = min  deg aij (λ) | aij (λ) 6= 0, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n 8B" ù‡ÚnŒÑ λ-Ý ƒ-IO.µ

定理(A-矩阵的相抵标准型定理) 任一λ-矩阵A(λ)mxn都相抵于如下形式的矩阵 d1(A) d2(A) dr() 其中r≤min{m,n},d(A)(i=1,2,…,r)都是首一多项式,且有 d1(A)|l+1(4),(i=1,2,…,r-1) 上面定理中的标准型称为矩阵A()的法式。如果A()是n阶可逆λ-矩 车,仍有上述的标准型成立。这时,按初等变换矩阵的行列式性质,知 有A(=cT=141()×0ד×0,共中c为非零数,而1A(A川为一个 一r个 非零数,于是得到r=n且d1(A)=1

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔكqIO. Ý {ª ½n (λ-Ý ƒ-IO.½n) ? λ− Ý A(λ)m×n у-uXe/ªÝ   d1(λ) d2(λ) . . . dr(λ) 0 . . . 0   § Ù¥ r ≤ min {m, n}§di (λ) (i = 1, 2, · · · ,r) Ñ´Äõ‘ª§…k di(λ)|di+1(λ)§ (i = 1, 2, · · · ,r − 1)" þ¡½n¥IO.¡Ý A(λ) {ª" XJ A (λ) ´ n Œ_λ-Ý §EkþãIO.¤á"ùž§UÐC†Ý 1ª5Ÿ§ k |A (λ)| = c ∏ r i=1 di (λ) × 0 × · · · × 0 | {z } n−r‡ §Ù¥ c š"ê§ |A (λ)| ‡ š"ê§u´ r = n … di (λ) = 1"

命题 ◎可逆的λ-矩阵必是初等矩阵的积 Q若A为n阶数字矩降,则|Mn-A=I11d1(A),其 中d1(A)|a2(A)|……|dn1(A)是AIn-A的法式中的对角元。 下面我们给个具体的例子 求矩阵A3-A的法式,这里A= 269 16 0 1A+24→0(A+6)(A-1)4A-4 -6λ-9 0 0(A-1)(A+6)4A-400x2-3M+2

pê£þ°½°¬‘§§›Š<µÁ‘§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÔكqIO. Ý {ª ·K 1 Œ_ λ-Ý 7´ÐÝ ȶ 2 e A  n êiÝ §K |λIn − A| = ∏ n i=1 di (λ)§Ù ¥ d1(λ) | d2(λ) | · · · | dn (λ) ´ λIn − A {ª¥é" e¡·‚‰‡äN~f" ~ ¦Ý λI3 − A {ª§ùp A =   −3 12 16 1 −2 −4 −2 6 9  " λI3 − A =   λ + 3 −12 −16 −1 λ + 2 4 2 −6 λ − 9   ⇒   1 0 0 0 (λ + 6) (λ − 1) 4λ − 4 0 2λ − 2 λ − 1   ⇒   1 0 0 0 2λ − 2 λ − 1 0 (λ − 1) (λ + 6) 4λ − 4   ⇒   1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 λ 2 − 3λ + 2  