复旦大学：《高等代数》精品课程教学资源（课件讲稿）chapter two matrices（杨劲根）

11a12…··a1n a21a22…··a2 aml am2 amn 称为一个m×n矩阵( matrix),其中a;称为A 的(i,j)-元素。若m=n则A称为m阶方阵 n=1的矩阵通常叫做(m阶)列向量。 m=1的矩阵通常叫做(n阶)行向量

A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · am1 am2 · · · amn   ¡‡ m × n Ý (matrix)§Ù¥ aij ¡ A  (i, j)-ƒ"em = n K A ¡ n  " n = 1 Ý Ï~‰£m ¤•þ" m = 1 Ý Ï~‰£n ¤1•þ" 1

两个特殊的矩阵: 1)所有元素全是零的m×m矩阵,记作0mxm, 有时简记作0 2) 0 01 001 00 有时见简记作Ⅰ 如果两个矩阵的行数、列数分别相等,并且 对应的元素也相等,则称两个矩阵是相等的

ü‡AÏÝ µ 1¤¤kƒ´" m×n Ý §PŠ 0m×n, kž{PŠ 0. 2¤ In =   1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · 0 0 · · · 1   , kž„{PŠ I. XJü‡Ý 1ê!ê©Oƒ§¿… éAƒƒ§K¡ü‡Ý ´ƒ" 2

运算 1)加法; 2)数乘; 3)乘法: mxp= amxn b n×p Ci=2aikbk

$Žµ 1¤\{¶ 2¤ê¦¶ 3¤¦{µ Cm×p = Am×nBn×p. cij = X n k=1 aikbkj. 3

课堂练习 p.60:1(3)(4),2(3)(4),3

‘,öS p.60: 1(3)(4),2(3)(4), 3 4

运算法则: 1)乘法结合律 (ABC=ABC), 其中A,B,C分别是m×m,n×p,p×q矩阵 证明:AB的(,k)元素是∑n=10nbk因此(AB)C 的(i,j)元素是 ∑∑ airOrk)Ckj ∑∑anb% k=1r=1 BC的(k,j)元素是∑P=1brC因此A(BC 的(,j)元素是 ∑a∑bc)=∑∑ aik.bkr.Cr,口 k=1 k=1r=1 2)加法分配律:A(B+C)=AB+AC 3)c(AB)=(cA)B=A(cB) 4)ImA=A, AIn= A 方阵的幂:A定义为k个A的乘积

$Ž{Kµ 1¤¦{(ÜƵ (AB)C = A(BC), Ù¥ A, B, C ©O´ m × n, n × p, p × q Ý " y²µAB  (i, k) ƒ´ Pn r=1 airbrk. Ïd(AB)C  (i, j) ƒ´ X p k=1 ( X n r=1 airbrk)ckj = X p k=1 X n r=1 airbrkckj. BC  (k, j) ƒ´ Pp r=1 bkrcrj. Ïd A(BC) (i, j) ƒ´ X n k=1 aik( X p r=1 bkrcrj) = X n k=1 X p r=1 aikbkrcrj.✷ 2) \{©Ƶ A(B + C) = AB + AC. 3) c(AB) = (cA)B = A(cB). 4) ImA = A, AIn = A.  µ Ak ½Â k ‡ A ¦È" 5

几个需要注意的地方: 1)AB一般不等于BA 2)两个非零矩阵的积可能等于零,例如 01 00 00八(00 3)AB=AC不能推出B=C

A‡I‡5¿/µ 1¤AB „Øu BA. 2¤ü‡š"Ý ȌUu"§~Xµ  0 1 0 0   0 1 0 0  =  0 0 0 0  . 3) AB = AC ØUíÑ B = C. 6

矩阵A的转置记作A或A 性质: 1)(A)=A 2)(A+B)=A+B. 3)(cA)=c(A) 4)(AB)=BA 证明:设A是m×p矩阵,B是p×m矩阵。 AB的(,j元素是∑=1akbk.因此(AB)y 的(,j)元素是∑k=1aib B′的(,)元素是bA的(,)元素是ai 因此BA的(,j)元素是∑=1bak,口

Ý A =PŠ A0 ½ AT . 5Ÿµ 1) (A0 ) 0 = A. 2) (A + B) 0 = A0 + B0 . 3) (cA) 0 = c(A0 ). 4) (AB) 0 = B0A0 . y²µ A ´ m×p Ý §B ´ p×n Ý " AB  (i, j)ƒ´ Pp k=1 aikbkj. Ïd (AB) 0 (i, j)ƒ´ Pp k=1 ajkbki. B0  (i, j) ƒ´ bji. A0  (i, j) ƒ´ aji. Ïd B0A0  (i, j) ƒ´ Pp k=1 bkiajk. ✷ 7

定义1.若A=A,则A称为对称矩阵。若A A,则A称为反对称(或斜对称)矩阵 定义2.如果一个矩阵A=(a)中的元素a 全是复(实、整)数,则A称为一个复(实 整)矩阵。记A=(可),称为A的共轭

½Â1. e A0 = A, K A ¡é¡Ý "e A0 = −A, K A ¡‡é¡£½é¡¤Ý " ½Â2. XJ‡Ý A = (aij) ¥ƒ aij ´E£¢!¤ê§KA ¡‡E£¢! ¤Ý "PA = (aij), ¡ A 
Ý" 8

例:(p.61:10)证明任一n阶方阵A可表示成 个对称阵和一个反对称阵的和。 证明:令 B=(A+A),C=(4-A) 则 B=+A)=B,C≈1 因此B是对称阵,而C是反对称阵。 然而A=B+C.口

~µ(p.61:10) y²? n  A ŒL«¤ ‡é¡ ڇ‡é¡ Ú" y²µ- B = 1 2 (A + A 0 ), C = 1 2 (A − A 0 ). K B 0 = 1 2 (A 0 + A) = B, C0 = 1 2 (A 0 − A) = −C. Ïd B ´é¡ § C ´‡é¡ " , A = B + C. ✷ 9

作业: p.61:5,6.8,9,12,15 10

Š’µ p.61: 5,6,8,9,12,15 10