厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（方法选讲，打印版）第八章 线性空间的同构

高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第八章线性空间的同构 提示:线性空间的同构是刻画两个线性室间具有相同的代数结构的概念,根据定义,线性空间的同构是保 持元素之间一一对应且保持线性运算的映射.线性空间的同构就是保持空间的线性运算导出的所有性质和结 构.具体地说.保持向量之间的线性关系,保持子空间以及子空间的运算和直和分解 线性空间同构关系是等价分类思想方法的一个特例.维数是同构关系的全系不变量.数域F是同构类的 代表元.要学会将抽象空间的间题转化为F的问题,并利用线性方程组解决问题 研究线性空间同构的内容是丰富的,多层次的.本章分节讨论.在同构对应中,取定一组基是前提.取不 同基,则对应不同 一般认为,线性空间与线性变换是几何结论,矩阵是代数的方法.同构则架起了代数与几何的桥梁,可以 将矩阵的命题与线性映射(线性变换)的命题互相转换.我们已经在第七章中利用线性变换的观点来证明矩 阵的秩的一些命题,同构对应告诉我们,矩阵的结论和关于线性变换的结论是互相对应的.所以,在证明 个命题时,我们常常至少有至少两种观点和方法.在以下几张中会反复体现这个重要的思想方法.要学会用 矩阵观点来证明线性变换问题,用线性变换观点来考虑矩阵问题.作为练习,我们可以将矩阵的命题翻译成 为线性变换的命题,将线性变换的命题翻译成为矩阵的命题. 实际上,V是代数Hom(V,V)上的模,F"是代数F×"上的模.Hom(V,V)cPmx和V≌F 导出Hom(V,V)的模V和F×"的模F"的同构(参见林亚南,苏秀萍:”广义模同构及其在高等代数 中的应用”,宁德师专学报10(1)(1998)33-35) 线性空间同构的定义和性质 数域F上的线性空间V,W称为同构,如果存在单的且满的线性映射φ:V→W.这时,称为同构 映射,记为φ:VW或VW 定理1.设V,W是线性空间.则φ:VW的充分必要条件是存在线性映射v V,使得 o=8, vo=8 定理2.设φ:V→W是线性空间的同构,则 (1)若在V上有a=a101+a202+…+aa,则在W上有o(a)=a1o(a1)+a2o(a2)+……+ a,o(as (2)若在W上有=b11+b22+……+b,则在V上存在唯一的a,a1,a2,……,Os使得o(a)=, o(a)=B,1≤i≤s,且有a=ba1+b202+…+bas (3)a1,a2,…,am在V线性相关的充分必要条件是o(a1),o(a2),……,o(am)在W线性相关; (4)a1,a2,…,am是V的一个基的充分必要条件是o(a1),o(a2)……,o(am)是W的一个基 定理3.设V,W是有限维线性空间.则VW的充分必要条件是dim(V)=dim(W) 定理4.设V1,V是V的两个子空间,φ:V→W是线性空间的同构,则 (1)oV∩V2)=o(V1)∩o(V2) (2)VgV的充分必要条件是o(V1)o(V2); (3)V=V1V2的充分必要条件是W=o(V1)o(V)

定理5,设V是"维线性空间,取定V的一个基a1,a2,…,a1,对于任意a∈V在此基下的坐标是 (a1,a2,…,an),则n:a→(01,a2,…,an)导出了n:VF Hom(V,W)≈Fmx作为线性空间的同构 设Ⅴ是n维线性空间,取定V的一个基a1,a2,……,an,设W是m维线性空间,取定W的 一个基1,B2,……,Bm对于AB∈Hom(V,W),如果A(an,a2,……,a B(a1,a2,…,a2)=(61,B2…,Bm)B,这里A,B∈Fx,则 (4+B)(a1,a2,……,an)=(6,B2,……,An)(A+B), (4)(a1,a 这里a∈F 在取定了V和W的基的条件下,令事:A→A,则有Φ(A+6)=A+B=(A)+(6) (a4)=aA=c重(A 定理6.∮导出了线性空间同构 重:Hom(V,W)≈Fmxn 特别地,当V=W时, (AB)(a1,a2,…,an)=(,B2,…,Bn)(AB) 这样,(A6)=AB=中(A)(6) 定理7.:A→A导出了有单位元的结合代数的同构 重:Hom(V,V)≈F"x 利用这个同构关系,易知面(E)=E;对于任意f(x)∈Fxl,更(f(A))=f(4)=f(重(A).我们可以 将线性映射(变换)的问题和矩阵的问题互相转化 三.Hom(VW)Fm"和VF"的自然延拓 设V是n维线性空间,取定V的一个基a1,a2,…,On设W是m维线性室间,取定W的一个基 1,2…,Bm,重:Hom(V,W)Fmx"是线性空间同构,更(A)=A,其中 A(a1,a2,…,an)=(31,B2,……,Bm)A 又mn:V2F,m(a)=X,其中X是a在基a1,a2,……,On下的坐标,m:WsF",(6)=Y 其中Y是B在基B1,B2,…,Bm下的坐标.再令A:Fn→F,X口AX.则 定理8.(1)mΦ2=Amhi; (2)m(Ker A)=Ker A (3)2(Im A)=Im. 定理9.(1)dim(Im4)=rank(A) (2)dimKer. A)=n-rank(A) (3)(维数公式dim(ImA)+dim(KerA)=

例1.判定x2+1,x-1,x2+的线性相关性 解法1提要 (x2+1,x-1,2+x)=(2,x,1)011 解法2提要:k1(x2+1)+k2(x-1)+k3(x2+x)=0 例2.取定线性空间V的一个线性无关向量组a1,a2,……,an设B1,……,Am∈V且B=b1a1+ b2Q2+……+b0n,1

证明提要:取定V的一个基a1,a2…,an,设A(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,an)A.因为 m(ImA)=T,所以rank(A)=T.由矩阵理论知A=A1+A2+…+A,rank(A1)=1,1≤i≤T 于rank(A)=1,所以dim(ImA)=1,1≤i≤r 例8.设V是维线性空间,A,B∈Hom(VV).求证: (1) dim(Im(A+B)) dim(Im A)+dim(ImB)-n. 例9.设A1,A2,…,Am∈Fn",A;≠0,1≤i≤m.求证:存在X∈F",使得AX≠0 1

(1)存在∫(x)∈F],使得∫(4)=0 (2)A可逆的充分必要条件是存在常数项非零的f(x)∈Fx,使得f(4)=0; (3)W={∫(x)∈Fl|f(4)=0}中存在首项系数为1的9(x),使得对于任意∫(x)∈W,都有 g(x)∫(x) 题10.设A∈F",A2=A,A=A1+A2,rank(A)=rank(A1)+rank(A2).求证:A2=Aa i=1,2;AA;=0,1≤i≠j≤2