厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第3章 线性空间 §3.1 数域

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:域名: gdjpkc.xmu. edu.cn 第三章线性空间 §3.1数域 教学目的和要求熟练掌握定义,正确判断数域和数环 定义设K是复数集C的子集且至少有两个不同的元素,如果K中任意两个 数的和,差,积,商(除数不为零)仍然属于K,则称κ是一个数域 注将加法,减法,乘法封闭(不一定除法封闭)的数集称为数环 例1Q,R,C是数域,z是数环但不是数域 例2Q√2)={a+b2a,b∈Q}构成一个数域.事实上,1,0∈Q√2).若 a+b2,c+dv2∈Q(V2,则 (a+bV2)±(c+d2)=(a±c)+(b±d)2∈Q(2 (a+bv2)(c+d√2)=(ac+2b+(ad+b)v2∈Q(v2 若c+d2≠0,则c,d不同时为0,故 a +bv2 c+dv2 2=2+2二m、∈Q√ 例3π是圆周率,形如 a0+a1丌++an丌 bo+b1丌+…+bm丌m 的数全体构成一个数域,其中m,n≥0.,a,b∈Q,0≤i≤n,0≤j≤m,且b不全 为0 注2丌是超越数,即b+b1丌+…+bmm<→b=b1=…=bmn=0 例4z(V2:={a+b2a,b∈z}是数环而不是数域 例5(1)所有偶数集合是数环,非数域;

￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn ✑✒✓ ✔✕✖✗ §3.1 ✘✙ ✚✛ ✜✢✣✤✥ ✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✰✘✙✱✘✲✳ ✴✵ ✶ K ✷✸✘✹ C ✺✻✹✼✽✾✿❀❁❂❃✺❄❅✬❆❇ K ❈ ❉❊❀❁ ✘✺✱✬❋✬●✬❍ (■✘❂❏❑) ▲▼◆❖ K ✬P◗ K ✷❘❁✘✙✳ ❙ ❚❯❱✬❲❱✬❳❱❨❩ (❂❘✪ ■ ❱❨❩) ✺✘✹◗ ❏✘✲✳ ❬ 1 Q, R, C ✷✘✙✬ Z ✷✘✲❭❂✷✘✙✳ ❬ 2 Q( √ 2) = {a + b √ 2|a, b ∈ Q} ❪❫❘❁✘✙✳❴❵❛✬ 1, 0 ∈ Q( √ 2). ❜ a + b √ 2, c + d √ 2 ∈ Q( √ 2), P (a + b √ 2) ± (c + d √ 2) = (a ± c) + (b ± d) √ 2 ∈ Q( √ 2), (a + b √ 2)(c + d √ 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) √ 2 ∈ Q( √ 2). ❜ c + d √ 2 6= 0, P c, d ❂❃❝ ❏ 0, ❞ a + b √ 2 c + d √ 2 = ac − 2bd c 2 − 2d 2 + bc − ad c 2 − 2d 2 √ 2 ∈ Q( √ 2). ❬ 3 π ✷❡❢❣✬❤❆ a0 + a1π + · · · + anπ n b0 + b1π + · · · + bmπm ✺✘✐❥❪❫❘❁✘✙✬❦ ❈ m, n ≥ 0, ai , bj ∈ Q, 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m, ✼ bj ❂✐ ❏ 0. ❙ 2 π ✷❧♠✘✬♥ b0 + b1π + · · · + bmπ m ⇐⇒ b0 = b1 = · · · = bm = 0. ❬ 4 Z( √ 2) := {a + b √ 2|a, b ∈ Z} ✷✘✲♦❂✷✘✙✳ ❬ 5 (1) ♣✿q✘✹r✷✘✲✬s✘✙t 1

(2)Q(√③):={a+b3|a,b∈Q}是数域 (3)W:={a2|a∈Q}不是数环,更不是数域.因为2Y2=V不属于W 命题1任意数域必包含0,1. 证明设K是一个数域,包含两个不同的数,所以比包含一个非零数.不妨设 a≠0.则a-a=0∈K,a/a=1∈K.口 命题2任意数域必包含有理数域Q 证明设K是一个数域,包含0,1,则1+1=2,2+1=3,3+1=4,……,同时 0-1=-1,-1-1=-2,-2-1=-3,……,所以K包含所有整数.对于p,q∈Z 且q≠0,则因为除法封闭,p/q∈K,所以KQ.口 命题3实数域R与复数域C中不存在其他任何数域 证明设K是一个数域满足RcKC.设R≠K,则存在a+b∈K,a,b∈R 且b≠0.由于减法封闭和除法封闭,有b=a+b-a∈K,i=b/b∈K.这样, 对于任意c+d∈C,因为1,∈K,都有c+d∈K.即K=C.口 注数域的等价定义:设K是复数集C的子集且包含0,1,如果K中任意两 个数的和,差,积,商(除数不为零)仍然属于K,则称K是一个数域 作业:Pu33 思考:QV2,√3:={a+b2+c√3+d√6|a,b,c,d∈Q}是否为数域?

(2) Q( √ 3) := {a + b √ 3 | a, b ∈ Q} ✷✘✙t (3) W := {a √3 2 | a ∈ Q} ❂✷✘✲✬✉ ❂✷✘✙✳✈ ❏ √3 2 √3 2 = √3 4 ❂◆❖ W. ✇① 1 ❉❊✘✙②③④ 0, 1. ⑤⑥ ✶ K ✷❘❁✘✙✬ ③④❀❁❂❃✺✘✬ ♣⑦⑧③④❘❁s ❑✘✳❂⑨✶ a 6= 0. P a − a = 0 ∈ K, a/a = 1 ∈ K. ✷ ✇① 2 ❉❊✘✙②③④✿⑩✘✙ Q. ⑤⑥ ✶ K ✷❘❁✘✙✬ ③④ 0, 1, P 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, · · ·, ❃ ❝ 0 − 1 = −1, −1 − 1 = −2, −2 − 1 = −3, · · ·, ♣⑦ K ③④♣✿❶✘✳❷❖ p, q ∈ Z ✼ q 6= 0, P✈❏■❱❨❩✬ p/q ∈ K, ♣⑦ KQ. ✷ ✇① 3 ❵✘✙ R ❸✸✘✙ C ❈❂❹❺❦❻❉❼✘✙✳ ⑤⑥ ✶ K ✷❘❁✘✙❽❾ R ⊆ K ⊆ C. ✶ R 6= K, P ❹❺ a+bi ∈ K, a, b ∈ R ✼ b 6= 0. ❿❖ ❲❱❨❩✱■❱❨❩✬ ✿ bi = a + bi − a ∈ K, i = bi/b ∈ K. ➀➁✬ ❷❖❉❊ c + di ∈ C, ✈ ❏ 1, i ∈ K, ➂✿ c + di ∈ K. ♥ K = C. ✷ ❙ ✘✙✺➃➄✪✫➅✶ K ✷✸✘✹ C ✺✻✹✼③④ 0, 1 ✬❆❇ K ❈ ❉❊❀ ❁✘✺✱✬❋✬●✬❍ (■✘❂❏❑) ▲▼◆❖ K ✬P◗ K ✷❘❁✘✙✳ ➆➇➅ P103 3 ➈➉➅ Q( √ 2, √ 3) := {a + b √ 2 + c √ 3 + d √ 6 | a, b, c, d ∈ Q} ✷➊❏✘✙ ➋ 2