厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第3章 线性空间 §3.2-3.3 线性空间

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 3.2-3.3线性空间 教学目的和要求熟练掌握线性空间的定义和基本性质;正确判断一个集合对于 给定的运算是否构成线性空间;准确地用元素的性质描述一个集合. 定义设K是一个数域,V是一个非空集合,在V上定义一个加法V×V→V, (a,B)→a+B,和一个运算数乘K×V→V,(a,a)→aa,若满足: (1)a+B=B (2)(a+B)+y=a+(+); (3)在V中存在元素0,使对任意a∈V,有a+0=a; (4)对于t中每个元素a,存在B,使a+B=0 (5)a(a+B)=aa+a3; (6)(a+ b)a=aa+ ba (7)(ab)a=a(a); 8)1a=a, 则称V是上线性空间(向量空间),V中元素称为向量,0称为零向量,a+B=0 中的β称为是a的负向量 例1数域K上n维列向量集合对于向量的加法和数乘构成一个线性空间,记 为Kmx1(或Kn);数域K上n维行向量集合对于向量的加法和数乘构成一个线性 空间,记为K1xn 例2数域K上一元多项式全体K[对于多项式的加法和数乘构成线性空间 数域K上次数小于或等于n的一元多项式全体Kn[对于多项式的加法和数乘构 成线性空间 例3数域K上m×n矩阵全体Kmxn对于矩阵的加法和数乘构成线性空间. 例4C是R上线性空间,R是R上线性空间 注R不是C上线性空间,Z不是Q上线性空间 例5零空间

￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §3.2 − §3.3 ✑✒✓✔ ✕✖ ✗✘✙✚✛ ✜✢✣✤✑✒✓✔✥✦✧★✩✪✒✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵✶ ✷✦✥✸✹✺✻✼✽✑✒✓✔✬✾✮✿❀❁❂✥ ✒✫❃❄✱✲✳✴❅ ❆❇ ❈ K ✺✱✲❉❊❋V ✺✱✲●✓ ✳✴❋❍ V ■ ✦✧✱✲❏❑ V ×V → V , (α, β) 7→ α + β, ★✱✲✸✹❉▲ K × V → V , (a, α) 7→ aα, ▼◆❖P (1) α + β = β + α; (2) (α + β) + γ = α + (β + γ); (3) ❍ V ◗ ❘❍❁❂ 0, ❙ ✵❚❯ α ∈ V , ❱ α + 0 = α; (4) ✵✶ v ◗ ❲✲❁❂ α, ❘❍ β, ❙ α + β = 0; (5) a(α + β) = aα + aβ; (6) (a + b)α = aα + bα; (7) (ab)α = a(bα); (8) 1α = α, ❳❨ V ✺ ■✑✒✓✔ (❩ ❬ ✓✔), V ◗ ❁❂❨❭❩ ❬❋ 0 ❨❭❪❩ ❬❋ α + β = 0 ◗ ✥ β ❨❭✺ α ✥❫❩ ❬❅ ❴ 1 ❉❊ K ■ n ❵❛❩❬✳✴✵✶❩ ❬✥❏❑★❉▲✼✽✱✲✑✒✓✔❋❜ ❭ Kn×1 (❝ Kn ); ❉❊ K ■ n ❵❞❩❬✳✴✵✶ ❩ ❬✥❏❑★❉▲✼✽✱✲✑✒ ✓✔❋❜❭ K1×n . ❴ 2 ❉❊ K ■ ✱❁❡❢❣❤✐ K[x] ✵✶❡❢❣✥❏❑★❉▲✼✽✑✒✓✔❅ ❉❊ K ■❥❉❦✶❝❧✶ n ✥✱❁❡❢❣❤✐ Kn[x] ✵✶❡❢❣✥❏❑★❉▲✼ ✽ ✑✒✓✔❅ ❴ 3 ❉❊ K ■ m × n ♠♥❤✐ Km×n ✵✶♠♥✥❏❑★❉▲✼✽✑✒✓✔❅ ❴ 4 C ✺ R ■✑✒✓✔❋ R ✺ R ■✑✒✓✔❅ ♦ R ♣ ✺ C ■✑✒✓✔❋ Z ♣ ✺ Q ■✑✒✓✔❅ ❴ 5 ❪ ✓✔❅ 1

性质1零向量唯一.事实上,设01,02都是零向量,则01=01+02=02 性质2负向量唯一.事实上,设a+B1=0=a+B2,则1=61+0= 1+(a+B2)=(1+a)+A2=0+A2=B2.a的负向量记为-a.可以定义向量的 减法a-B=a+(-) 性质3对任意a,B,Y∈V, (1)若a+B=a+7,则 (2)0a=0,因为a=0+a=1a=(0+1)a 0a+1a=0a+a, 由(1),得 (3)a0=0,因为aa+a0=a(a+0)=aa,消去得a0=0 (4)(-1)a=-a,因为a+(-a)=0,-a=(-1)a (5)aa=0.,则或a=0或a=0,因为设a≠0,则0=a-laa 例5已知向量a1=(1,-1,0.,-1),B=(-2,1,0,0),=(-1,-2,0,-1),则 +B+y=(-2,-2,0,-2),3a-3+5=(0,-14,0,-8) 作业:F109,1(1)(2) 作业补充:(1).R+,定义加法为aeb=ab,数乘为k·a=a,是否是R上线 性空间 (2).平面上全体向量,通常加法与数乘a·a=0,是否是R上线性空间 思考题:P1091(3)(4)

qr 1 ❪ ❩ ❬s✱❅t✉■ ❋❈ 01, 02 ✈ ✺❪❩ ❬❋❳ 01 = 01 + 02 = 02. qr 2 ❫ ❩ ❬s✱❅t✉■ ❋❈ α + β1 = 0 = α + β2, ❳ β1 = β1 + 0 = β1 + (α + β2) = (β1 + α) + β2 = 0 + β2 = β2. α ✥❫❩ ❬❜❭ −α. ✇①✦✧❩ ❬✥ ②❑ α − β = α + (−β). qr 3 ✵❚❯ α, β, γ ∈ V , (1) ▼ α + β = α + γ, ❳ β = γ; (2) 0α = 0, ③ ❭ α = 0 + α = 1α = (0 + 1)α = 0α + 1α = 0α + α, ④ (1), ⑤ 0α = 0; (3) a0 = 0, ③ ❭ aα + a0 = a(α + 0) = aα, ⑥⑦⑤ a0 = 0; (4) (−1)α = −α, ③ ❭ α + (−α) = 0, −α = (−1)α; (5) aα = 0, ❳ ❝ a = 0 ❝ α = 0, ③ ❭❈ a 6= 0, ❳ 0 = a −1aα = α. ❴ 5 ⑧ ⑨ ❩ ❬ α1 = (1, −1, 0, −1), β = (−2, 1, 0, 0), γ = (−1, −2, 0, −1), ❳ α + β + γ = (−2, −2, 0, −2), 3α − β + 5γ = (0, −14, 0, −8). ⑩❶P P109, 1(1)(2) ⑩❶❷❸P (1). R +, ✦✧❏❑❭ a ⊕ b = ab, ❉▲❭ k · α = a k , ✺✻✺ R ■✑ ✒✓✔❅ (2). ❹❺■❤✐❩ ❬❋❻❼❏❑❽❉▲ a · α = 0, ✺✻✺ R ■✑✒✓✔❅ ❾❿➀P P109 1(3)(4) 2