厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第1章 行列式 §1.1 行列式的定义

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu. cn 第一章行列式 81.1行列式的定义 教学目的与要求熟练理解和掌握按第一列展开的行列式定义,掌握余子式, 代数余子式的定义 记 12 由n行n列共n2个元素组成,称为n阶行列式.记M1为元素a的余子式 ai-11 ai-1j-1 Qi-1j+ 2-1n 1i+11 ai anj-1 ani+ 用归纳法定义|4的值. 定义当n=1时,(1)式的值定义为|A=a1.现假定对m-1阶行列式已 经定义了它们的值.则对于n阶行列式|4来说,M2,1≤i,≤n已经定义 我们定义n阶行列式|A的值为 1-a21l21+…+(-1)+lan1Mn 注一阶行列式无余子式.(2)式也称为|A|按第1列展开式 在行列式|4中,a的代数余子式定义为

='A 2 7O IP ÆS 59.77.1.116; J) gdjpkc.xmu.edu.cn CP &. §1.1 &.E Y^\Wa_℄ 0$#Q:C&N &.E￾Q:IU.￾ 1IU.E
 |A| =         a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · an1 an2 · · · ann         (1) G n  n & n 2 K4V￾8 n &.
 Mij 8K4 aij IU.
Mij =             a11 · · · a1j−1 a1j+1 · · · a1n · · · · · · · · · · · · · · · · · · ai−11 · · · ai−1j−1 ai−1j+1 · · · ai−1n ai+11 · · · ai+1j−1 ai+1j+1 · · · ai+1n · · · · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · anj−1 anj+1 · · · ann             F*E |A| R
X`  n = 1 -￾ (1) .RE8 |A| = a11. > n − 1 &.D E%6(R
MH n &. |A| "3￾ Mij , 1 ≤ i, j ≤ n DE
9(E n &. |A| R8 |A| = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1 (2) b C&.;IU.
(2) .B8 |A|  1 &N .
L&. |A| T￾ aij  1IU.E8 Aij = (−1)i+jMij . 1

其中M为a的余子式,则(2)可改写为 A|=a1141+a21A21+…+an1A 例 1122-12(21 21a22 11a12a13 (2)a21a22a23|=a1 a22a23 a32a33 12013+a31a22a23 a32a33 a31a32a33 a11022a33+a12023031+a21032a13-a13022031-a12021033-a23432411 (3)计算设|4是3阶行列式.计算M1+M21+M3,其中M是|4的第 行第j列元素的余子式 解M1+M21+M31=1A1+(-1)A21+1A3 1a22a23 =a22a33-013032+a12423-a13022+a12a33-a3202 练习:P6

+T Mij 8 aij IU.￾M (2) !?8 |A| = a11A11 + a21A21 + · · · + an1An1 [ (1)     a11 a12 a21 a22     = a11a22 − a12a21. (2)       a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33       = a11     a22 a23 a32 a33     − a21     a12 a13 a32 a33     + a31     a12 a13 a22 a23     = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11. (3) 5, |A| / 3 &.
5 M11 + M21 + M31, +T Mij / |A|  i  j &K4IU.
Z M11 + M21 + M31 = 1A11 + (−1)A21 + 1A31 =       1 a12 a13 −1 a22 a23 1 a32 a33       = a22a33 − a13a32 + a12a23 − a13a22 + a12a33 − a32a23. $< P7 6 2