厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（方法选讲，打印版）第六章 线性方程组

高等代数选讲ⅤI-VII 刻」 林亚南 门大学数学科学学院 全屏 联

方问主页 第六章线性方程组 全屏 联

齐次线性方程组 设F是一个数域,A∈Fmx记 方问主页 A=(41,A2,…,A)其中A∈Fm1,1≤i≤m 考虑齐次线性方程组AX= 全屏 联

定理1 对于齐次线性方程组AX=0,下列叙述等价 (1)AX=0有唯一零解 (2)A1A2,……,An线性无关; (3)rank(A) 定理2 方问主页 对于齐次线性方程组AX=0,下列叙述等价 (1)AX=0有非零解 (2)A1,A2……,A线性相关 (3)rank(A)=r< n 全屏 这时AX=0有n-r个线性无关的解 联

定理3 AX=0的解构成Fm×的子空间,称为解空间 方问主页 当rank(A)=7<n时,解空间的一个基称为AX 0的一个基础解系. 全屏 联

求解的方法 作 行的初等变换(如需要加上适当的列的互换)化为阶 梯形矩阵B.行的初等变换化方程组为同解方程组. 设rank(4)=r<m,则 方问主页 y+1 01 A→B=00…1b+1…b 00 全屏 联

可见AX=0中独立方程的个数为r,多余方程的 个数是m-,独立未知量的个数为r,自由未知量的个 数为n-r.若分别取(xr+1,xr+2,…,xn)为(1,0,……,0) (0,1 (0,0,…,1),回代B 0,可求 得BX=0的基础解系 51=(-bx+1,-b2 bx,+1,1,0,…,0), x+2 r,r+2 方问主页 n=r=(-b1,n,-b2m,…,-bxmn,0,0,…,1), 第君 故AX=0的通解为51+k22+…+k1-5n-,其 全屏 联 中k,k2,…,k-为F中的任意常数

非齐次线性方程组 方问主页 虑非齐次线性方程组AX=b.A称为方程组的系数矩 阵,(4|b称为方程组的增广矩阵.AX=b的向量形式 是b=x141+x242+…+x1X1 全屏 联

定理4 对于齐次线性方程组AX=b,下列叙述等价 (1)AX=b无解 (2)b不能由A1,A2,……,A线性表出; (3)rank(A)frank(Ab) 方问主页 定理 对于齐次线性方程组AX=b,下列叙述等价 (1)AX=b有唯一解 第顾君 (2)b可由A1,A2…,A线性表出,且表示法唯 全屏 (3)rank(A)=rank(Ab) 联

定理6 对于齐次线性方程组AX=b,下列叙述等价 (1)AX=b有无穷多解 (2)b可由A1,A2,,A1线性表出,且表示法有无穷 多种; 方问主页 (3)rank(A)=rank(A b)< n 引理 设n,m是非齐次方程AX=b的解是对应齐次方 程AX=0的解则n1-m是AX=0的解,m+k是AX= b的解 全屏 联