厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（方法选讲，打印版）第十一章 欧氏空间

高等代数选讲XI-XI 刻」 林亚南 门大学数学科学学院 全屏 联

方问主页 第十一章欧氏空间 全屏 联

本章我们在实数域R上讨论 欧氏空间以及正交向量 设R是实数域,V是R上的n维线性空间映射(一 V→R称为一个内积,如果它具有以下性质 (1)(a,B)=(,a); 方问主页 B)=a(a,6); (3)(a+,0)=(a,)+(3,); (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时a,a)=0 全屏 这里a,B,是V中任意向量,a是任意实数这样的线性空 联 间称为欧氏空间

定义向量a的长度为√a,a,记为长度为1的向 量称为单位向量 非零向量a,B的夹角规定为<丌 非零向量a,称为正交的,记为a⊥B,如果(a,B)=0. n维欧氏空间V的一个基1,E2,…,En称为标准正交 基,如果(,)=61,1≤,≤n 方问主页 设1,2,……,En是n维欧氏空间V的一个标准正交基 则对任意a∈V,有a=(a,1)1+(a,E2)2+…+(a,En)En 全屏 对于a=x1E1+x2=2+…+xnEn,B=y151+y2=2+ 联 +ynEn有(a,)=x11+x2y2+…+xnyn

定理1( Schmidt正交化定理) 从n维欧氏空间V的一个基1,a2,…,On都可以找 方问主页 到一个标准正交基=1,2,…,En,使得L(a1,…,Q) L(1,…,E),1<s≤. 全屏 联

设 7n和1,∈2…,En是n维欧氏空间v的两 个标准正交基, (71,2,……,m)=(1,2,……,En)T, 方问主页 则由于6=(7,7)=∑=1011,有TT=E 实数域R上的n阶方阵T称为正交矩阵,如果T-1 全屏 联

定理2 设,m2,…,mn和1,∈2…,E是m维欧氏空间V的两 个基, (71,m2,…,Tn)=( En)T 方问主页 如果m,m2,…,m和=1,E2…,En是m维欧氏空间V的两个 标准正交基,则T是正交矩阵.如果T是正交矩阵,且其 中有一个基是标准正交基,则另一个基也是标准正交 基.所以,T是正交矩阵的充分必要条件是T是n维欧氏空 间V的两个标准正交基的过渡矩阵 全屏 联

欧氏空间的子空间的正交补 设V,V是n维欧氏空间v的两个子空间,a∈V 称a与V1正交,记为a⊥V,如果对于任意的β∈V 都有(a,B)=0 方问主页 称V与V正交,记为V1⊥V2,如果对于任意的 V和∈V2,都有(a,B)=0 V是V的正交补,记为v=V1,如果V=VV, 且V⊥V2 全屏 联

定理 (1)如果子空间V,V2……,V两两正交,则和V+V2+ 方问主页 +V是直和; (2)n维欧氏空间V的每个子空间V都有唯一的正交 补.Ⅵ恰由所有与V正交的向量组成 全屏 联

维欧氏空间的线性变换 1一般线性变换 和:1 en是n维欧氏空间V的两 个标准正交基,A是V的线性变换, A(m1,m2,…,mn)=(n,m2,……,Tn)A, 方问主页 A(=1,E2,……,En)=(1,∈2,…,En)B, (71,m,…,mn)=(E1,E2,……,En)T, 则B=T-1AT,其中T是正交矩阵 用顾共 设A,B∈R×n称A与B正交相似,如果存在正交矩 阵T,使得A=TAT= 全屏 联