厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（方法选讲，打印版）第一章 一元多项式

高等代数选讲I,I,I 刻」 林亚南 门大学数学科学学院 默叫」 全屏 联

方问主页 第一章一元多项式 全屏 联

多项式代数和多项式函数 多项式代数 数域F上的多项式是形式表达式 f(r)=an.a"+an-12+.+a2X+a12+ao, 方问主页 这里n是非负整数,a1∈F,0<i<n,an≠0.an称为首 项系数,ω称为常数项,n称为f(x)的次数,记为deg(f(x) 厦烈」 零多项式是唯一没有定义次数的多项式 全屏 数域F上多项式的全体记为Fz 联

两个多项式f(x)=∑max和g(x)=∑m0bx相 等,如果m=n且a2=b,1deg(g(x),定义f(x)+g(x) b)x2,这里b=0,m+1≤j≤n 方问主页 对于a∈F,定义数乘af(x)=∑aoa 定义乘法为f(x)(x)=∑mcx,其中c 默叫」 a 全屏 联

命题1 (1)F[x]对于多项式的加法和多项式的数乘构成F上 的线性空间 方问主页 (2)Fd对于多项式的加法和多项式的乘法构成有 单位元的交换环 (3)Fx对于多项式的加法多项式的数乘和多项式 烈」 的乘法构成有单位元的交换代数 全屏 联

则 称g(x)整除f(x),记为y(x)f(x)如果这样的h(x)不存在 称g(x)不能整除f(x),记为g(x)Mf(x) 命题2 (1)g(x)f(x)→g(x)除f(x)的余式为零; 方问主页 (2)g(x)f(x)且f(x)g(x)+→f(x)=cg(x),其中0≠ C (3)g()If(), f(a) h(c), g(c) h(a) 默叫」 (4)9(x)f(x),1≤t≤8,则对于任意u(x)∈F|x], 全屏 1≤i≤s,有y(x)∑=1tx)f(x) 联

定理1(带余除法定理 设f(x),y(x)∈Flz,g(x)≠0.则存在唯 方问主页 的q(x),r(x)∈F{xl,使得f(x)=g(x)q(x)+r(x),这里 或者r(x)=0或者deg(r(x)<deg(g(x) 默叫」 全屏 联

例1.设f(x),9(x),h(x)∈R{x],且 f(x)2=x9(x)2+xh(x)2 方问主页 求证:f(x)=g(x)=h(x)=0. 例2求证:xf(x)4÷x|f(x)2 默叫」 全屏 联

2.多项式函数 设f(x)=anxn+an=1xn-1+…+a2x2+a1x+a0∈F|z], 则对于a∈F,f:atf(a) ana tan-1a2I 方问主页 a1a+a定义了F到F的函数称为多项式函数.根据函数 的观点,f=9的充分必要条件是:对于任意的a∈F都 有f(a)=g(a) 全屏 联

设a∈F使得f(a)=0,则称a是f(x)的一个根 定理2(余数定理) 方问主页 设f(x)∈Fl,a∈F,用x-a除f(x)的带余除式⊥ 为f(x)=(x-a)q(x)+c,则c=f(a 全屏 联