厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（方法选讲，打印版）第四章 线性空间

高等代数选讲IV,V 刻」 林亚南 厦门大学数学科学学院 全屏 联

方问主页 第四章线性空间 全屏 联

线性空间的定义 设F是一个数域,V是一个非空集合.V对于定义的 加法数乘运算称为F上线性空间,如果对于任意的a,b∈ F,a,B,∈V满足: (1)a+B=B+a (2)(a+B)+y=a+(3+); 方问主页 (3)在V中存在元素0,使对任意a∈V,有a+0=0; (4)对于中每个元素a,存在6,使a+B= (5)a(a+)=a+aB (6)(a+b)a=aa bar (7)(ab)a=a(ba) 全屏 (8 )la=a 联

二.向量的线性关系 存 在 as∈F,使得a=a1a1+a2Q2+…+a 称向量组a1,a2,…,Q与向量组角,2,……,等价,如 方问主页 果a,1≤≤s可由1,A2……,线性表示且 可由a1,a2,……,O线性表示 向量组a1,a2,……,Q称为线性相关,如果存在不全 为零的a,1≤≤s,使得∑=1a1=0;不是线性相关的 顷鞋 向量组称为线性无关 全屏 联

定理1 设a1,Q2,…,是V的一个向量组,则下列叙述等 方问主页 价. (1)a1,a2,……,Q、线性相关 (2)有一个a可由其它向量线性表出 全屏 联

定理2. 设a1,a2,……,a是V的一个向量组,则下列叙述等 价 (1)a1,a2,……,a线性无关; (2)如果∑1001=0,则a1=0,1≤i≤; 方问主页 (3)向量0由a1,a2,……,a线性表示的表示法唯一; (4)a1,a2,…,a任一向量都不能由其余向量线性表 出 (5)任一可由a1,a2,…,Q线性表示的向量的表示法 顷琪 唯一; (6)a不可由a1,a2,……,a-1线性表出,1<i<s 全屏 联

定理3 设a1,a2,…,Q与1,B2,…,B是两个向量组,如果 方问主页 (1)a1,a2,…,a可由B1,B2,…,B+线性表出; (2)s>t; 则a1,Q2,…,Q线性相关 第君 全屏 联

组{a1;Q2…,as}的线性无关极大组,如果 (1){1,O an}s{a1,a2…,ax}; (2)G1,a2…,G线性无关; (3)an1,02,…,a,与a1,Q2,…,a等价 方问主页 个向量组的线性无关极大组含有向量的个数是相 等的,称为向量组的秩 定理4 (1)向量组的不同的线性无关极大组含有相同个数 的向量 全屏 (2)等价的向量组有相同的秩 联

基与维数 向量组a1,a2,…,On称为线性空间V的一个基,如果 方问主页 (1)an1,a2, 线性无关 (2)V中的任意向量可由a1,a2,,On线性表出 这时,也称V的维数为m,记为dm(V)=n 全屏 联

取定V的基a1,Q2 方问主页 第顾料 则b1,b2,…,b称为在基a1,Q2,…,an下的坐标 全屏 联