厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第2章 矩阵 §2.4 矩阵的初等变换和初等矩阵

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.71.116;域名: gdjpkc. xmu. edu. cn §4矩阵的初等变换与初等矩阵 教学目的和要求熟练掌握矩阵的初等变换,以及与初等矩阵的对应.理解矩 阵相抵关系及应用 高斯消去法 解线性方程组的高斯消去法. 二.初等变换 定义矩阵的初等变换指的是: (1)互换变换:交换矩阵中某两行(列); (2)数乘变换:用一非零常数乘以矩阵的某一行(列 (3)消法变换:将矩阵的某一行(列)乘以数c后加到另一行(列) 定理A=(a1)mxn必可经过一系列行和列的初等变换化为如下形式矩阵 00.0 0010.0 0000.0 证明若A=0,结论显然成立 若A≠0,不妨设a11≠0.否则,设a≠0,可经行和列的互换调到(1,1)位 置.第一行乘-a1an1加到第行上(1≤i≤m),则A第一列元素除an外全为 0;将第一列乘以-a1a1加到第j列上(1≤j≤m),则除a1外第一列元素全为 0.将第一行乘以a1,得到 0 0 b20

￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ ✡☛ IP ☞✌✍ 59.77.1.116; ✎✏✍ gdjpkc.xmu.edu.cn §4 ✑✒✓✔✕✖✗✘✔✕✑✒ ✙✚ ✛✜✢✣✤ ✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✰✱✲✳✬✭✩✪✫✴✵✶✷✸✩ ✪✹✺✻✼✲✵✽✶ ✾✶✿❀❁❂❃ ✸❄❅❆❇❈✫❉❊❋●❍✶ ■✶❏❑▲▼ ◆❖ ✩✪✫✬✭✮✯P✫◗❘ (1) ❙ ✯✮✯❘❚✯✩✪❯❱❲❳ (❨); (2) ❩❬✮✯❘✽❭❪❫❴❩❬✱✩✪✫❱❭❳ (❨); (3) ❋❍✮✯❘❵✩✪✫❱❭❳ (❨) ❬ ✱ ❩ c ❛❜❝❞❭❳ (❨). ◆❡ A = (aij )m×n ❢❣❤✐ ❭✼❨ ❳❥❨ ✫✬✭✮✯❦❧♠♥♦♣✩✪   1 · · · 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0 · · · 1 0 · · · 0 0 · · · 0 0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 · · · 0 0 · · · 0   (∗) qr s A = 0, t✉✈✇①②✶ s A 6= 0, ③④⑤ a11 6= 0. ⑥⑦✰ ⑤ aij 6= 0, ❣❤❳❥❨ ✫ ❙ ✯⑧❝ (1,1) ⑨ ⑩✶❶❭❳ ❬ −a −1 11 ai1 ❜❝❶ i ❳❷ (1 ≤ i ≤ m), ⑦ A ❶❭❨❸❹❺ a11 ❻❼❧ 0; ❵❶❭❨❬✱ −a −1 11 a1j ❜❝❶ j ❨ ❷ (1 ≤ j ≤ m), ⑦❺ a11 ❻ ❶❭❨❸❹❼ ❧ 0. ❵❶❭❳ ❬ ✱ a −1 11 , ❽❝   1 0 · · · 0 0 b22 · · · b2n . . . . . . . . . . . . 0 bm2 · · · bmn   1

类似,记第(2,2)位置非零,用同样办法可使第二行和第二列除(2,2)外全为0.不 断做下去,直到变为(*)式 1000 例经过一系列的行与列的初等变换12-24 0100 013-1 0010 三.初等矩阵 定义对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵. (1)互换矩阵: 0 (2)数乘矩阵 Pi(c 其中c≠0 (3)消法矩阵: 1 0

❾❿✰➀❶ (2,2) ⑨ ⑩❪❫✰✽➁➂➃❍❣➄❶➅❳❥❶➅❨❺ (2,2) ❻❼❧ 0. ③ ➆➇♥●✰➈❝ ✮❧ (∗) ♣✶ ➉ ❤✐ ❭✼❨ ✫❳✳ ❨ ✫✬✭✮✯✰  2 0 −1 3 1 2 −2 4 0 1 3 −1   −→   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0   ➊✶❏❑➋➌ ◆❖ ✴➍⑨ ✩✪➎❭➏✬✭✮✯➐❽❝✫✩✪➑❧✬✭✩✪✶ (1) ❙ ✯✩✪❘ Pij =   1 . . . 0 · · · 1 . . . . . . . . . 1 · · · 0 . . . 1   (i) (j) (2) ❩❬✩✪❘ Pi(c) =   1 . . . c . . . 1   (i) ➒❯ c 6= 0; (3) ❋❍✩✪❘ Tij (c) =   1 . . . 1 · · · 0 . . . . . . . . . c · · · 1 . . . 1   (i) (j) 2

定理设A是mxn矩阵,对A作一次行的初等变换相当于左乘一个m阶相 应初等矩阵,对A作一次列的初等变换相当于右乘一个n阶相应的初等矩阵 证明只对行初等变换进行证明.分别计算P3A,P(c)A,T(c)A即可.口 推论初等矩阵均可逆,且P=P3,P()1=P(c-1),T()-1=T(c) 四.矩阵的相抵 定义矩阵A经过有限次初等变换后变成B,则称A与B是相抵的,记为 A≈B 注因为对矩阵做一次行(列的初等变换相当与左(右)乘一个相应的初等矩 阵,所以AB的充分必要条件是存在初等矩阵P,Q,1≤s,1≤j≤t,使得 P…P2P1AQ1Q2…Qt= 0 定理矩阵的相抵关系满足(1)反身性,即A=A;(2)对称性,即若A=B, 则BA;(3)传递性,即若A=B,B=C,则A=C 例n阶方阵A不可逆的充分必要条件是存在不为0的方阵B,使得AB=0 证明必要性.若A可逆,则从AB=0可得B=0,与B不为0矛盾 充分性.若A是奇异矩阵,则存在可逆矩阵P,Q使PAQ Ir 0 令 则PAQC=0,故AQC=0.令B=QC,则结论成立.口 作业:P673

◆❡ ⑤ A ◗ m × n ✩✪✰✴ A ➎❭➏❳✫✬✭✮✯✹➓➔→❬ ❭➣ m ↔ ✹ ✵✬✭✩✪✰✴ A ➎❭➏❨ ✫✬✭✮✯✹➓➔↕❬ ❭➣ n ↔ ✹✵✫✬✭✩✪✶ qr ➙✴❳✬✭✮✯➛❳➜➝✶➞➟➠➡ PijA, Pi(c)A, Tij (c)A ➢❣ ✶ ➤➥ ✬✭✩✪➦ ❣➧✰➨ P −1 ij = Pij , Pi(c) −1 = Pi(c −1 ), Tij (c) −1 = Tij (−c). ➩✶➋➌✜➫➭ ◆❖ ✩✪ A ❤✐➯➲➏✬✭✮✯❛ ✮ ① B, ⑦ ➑ A ✳ B ◗✹✺✫✰➀❧ A ∼= B. ➳ ➵❧✴✩✪➇❭➏❳ (❨) ✫✬✭✮✯✹➓✳→ (↕ ) ❬ ❭➣✹✵✫✬✭✩ ✪✰➐✱ A ∼= B ✫➸➞❢➺➻➼◗➽➾✬✭✩✪ Pi , Qj , 1 ≤ s, 1 ≤ j ≤ t, ➄❽ Ps · · ·P2P1AQ1Q2 · · ·Qt =   1 . . . 1 0 . . . 0   . ◆❡ ✩✪✫✹✺✻✼➚➪ (1) ➶➹❅✰➢ A ∼= A; (2) ✴➑❅✰➢ s A ∼= B, ⑦ B ∼= A; (3) ➘➴❅✰➢ s A ∼= B, B ∼= C, ⑦ A ∼= C. ➉ n ↔ ❆✪ A ③❣➧✫➸➞❢➺➻➼◗➽➾③ ❧ 0 ✫❆✪ B, ➄❽ AB = 0. qr ❢➺❅✶s A ❣➧✰ ⑦➷ AB = 0 ❣❽ B = 0, ✳ B ③ ❧ 0 ➬➮✶ ➸➞❅✶s A ◗➱✃✩✪✰ ⑦ ➽➾❣➧✩ ✪ P, Q ➄ P AQ =  Ir 0 0 0  . ❐ C =  0 0 0 In−r  , ⑦ P AQC = 0, ❒ AQC = 0. ❐ B = QC, ⑦t✉①②✶ ➎❮❘ P67 3 3