厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第4章 线性映射 §4.2 线性映射的运算

厦门大学高等代数教案(08版)网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn §4.2线性映射的运算 教学目的和要求熟练理解与掌握L(V,U)线性空间的结构和L(V)的代数结 构.了解Kx是K-代数,为下一节证明L(V,U)Kmxn,L(V)Km×n作准 备 L(V,U 设V,U是数域K上线性空间,记L(v,U)为从V到U的所有线性映射构成 的集合,记L(V)是所有从V到V的线性变换构成的集合 定理1在L(V,U)中,定义加法与数乘: p+v: V-U,(p+v(a=o(a)+v(a) ap: V-U,(ap(a)=ap(a), 则φ+v,a9∈L(V,U)且L(V,U)对以上定义加法与数乘构成K上线性空间. 注当U=K时,线性映射φ:V→K称为线性函数,L(V,K)称为V的共 轭空间,记为V*.当dimV=n时,V*称为V的对偶空间 L(V) 定义设A是集合,K是数域,在A定义加法,乘法,定义K和A的数乘, 满足: (1)A对于加法和数乘构成K上线性空间; (2)结合律:对于任意的ab,c∈A,有a(bc)=(ab)e (3)存在乘法的单位元e∈A,使得对于任意a∈A,有ea=a=ae; (4)乘法与加法协调:对于任意的a,b,c∈A,有a(b+c)=ab+ac,(a+b)c= (5)乘法与数乘协调:对于任意的a,b,∈A,A∈K,有A(ab)=(Ma)b=a(b 则称A是K-代数 例1K×n对于矩阵的加法,数乘和乘法构成K-代数

￾✁✂✄☎✆✝✞✟✠ (08 ✡) ☛☞ IP ✌✍✎ 59.77.1.116; ✏✑✎ gdjpkc.xmu.edu.cn §4.2 ✒✓✔✕✖✗✘ ✙✚ ✛ ✖✜✢✣ ✤✥✦✧★✩✪ L(V, U) ✫✬✭✮✯✰✱✲ L(V ) ✯✳✴✰ ✱✵✶✧ Kn×n ✷ K- ✳✴✸✹✺✻✼✽✾ L(V, U) ∼= Km×n , L(V ) ∼= Kn×n ✿❀ ❁✵ ✻✵ L(V, U) ❂ V, U ✷✴❃ K ❄✫✬✭✮✸❅ L(V, U) ✹❆ V ❇ U ✯❈❉✫✬❊❋✱● ✯❍■✸❅ L(V ) ✷❈❉❆ V ❇ V ✯ ✫✬❏❑✱●✯❍■✵ ▲▼ 1 ◆ L(V, U) ❖ ✸P◗❘❙★ ✴❚❯ ϕ + ψ : V → U, (ϕ + ψ)(α) = ϕ(α) + ψ(α), aϕ : V → U, (aϕ)(α) = aϕ(α), ❱ ϕ + ψ, aϕ ∈ L(V, U) ❲ L(V, U) ❳❨❄P◗❘❙★ ✴❚✱● K ❄✫✬✭✮✵ ❩ ❬ U = K ❭ ✸ ✫✬❊❋ ϕ : V → K ❪ ✹ ✫✬❫✴✸ L(V, K) ❪ ✹ V ✯❴ ❵ ✭✮✸❅✹ V ∗ . ❬ dimV = n ❭ ✸ V ∗ ❪ ✹ V ✯ ❳❛✭✮✵ ❜✵ L(V ) ▲❝ ❂ A ✷❍■✸ K ✷✴❃✸◆ A P◗❘❙✸❚❙✸P◗ K ✲ A ✯✴❚✸ ❞❡❯ (1) A ❳❢❘❙✲✴❚✱● K ❄✫✬✭✮❣ (2) ✰■❤❯❳❢✐❥✯ a, b, c ∈ A, ❉ a(bc) = (ab)c; (3) ❦◆❚❙✯❧♠♥ e ∈ A, ♦♣❳❢✐❥ a ∈ A, ❉ ea = a = ae; (4) ❚❙★ ❘❙qr❯❳❢✐❥✯ a, b, c ∈ A, ❉ a(b + c) = ab + ac,(a + b)c = ac + bc; (5) ❚❙★ ✴❚qr❯❳❢✐❥✯ a, b, ∈ A, λ ∈ K, ❉ λ(ab) = (λa)b = a(λb). ❱ ❪ A ✷ K- ✳✴✵ s 1 Kn×n ❳❢t✉✯❘❙✸✴❚✲❚❙✱● K- ✳✴✵ 1

定理2设V是数域K上线性空间,则L(V)是K代数,其中的乘法是映射 的合成,即o(a):=g(v(a) 证明首先证明对于任意的y,v∈L(V),yv∈L(V),即证明线性变换的乘法 还是线性映射 其次证明以上定义中的(2)-(5).例如(5)的证明:对于任意的φ,v,∈L(V),A∈ K,a∈V,(A(yu)(a)=X(y)(a)=A(y(v(a)=g(X(v(a)=9(v)(a) (y()(a),所以A(y)=g(λ).同理,A(y)=(4).口 注1对于V的线性变换φ,有φ"ypm=yn+m,(y)m=ymn;若φ可逆,定义 (y-1)y2,g0=idv,则y-n=(y)-1 注2一般地,φ≠v(见P148.习题1) 注3设φ,v∈L(V),9,v可逆,0≠A∈K,则(y)-1=-y-1,(A) 例2设V,V是线性空间V的子空间且V=V④V2.对i=1,2,定义 a1 +a2 H Ci 1:V1→V,a1→a1+0; 2:V2→V,a2→0+a2 则r,σ1,1≤i≤2,是线性映射,且满足 Tigi= diiidv 01T1 +02T2= idv 称;为投影映射,σ;为嵌人映射 作业:P644;挑战题:Ps9 思考:P641,2

▲▼ 2 ❂ V ✷✴❃ K ❄✫✬✭✮✸❱ L(V ) ✷ K ✳✴✸✈❖ ✯❚❙✷❊❋ ✯■●✸✇ ϕφ(α) := ϕ(ψ(α)). ①② ③④✽✾❳❢✐❥✯ ϕ, ψ ∈ L(V ), ϕψ ∈ L(V ), ✇✽✾✫✬❏❑✯❚❙ ⑤✷✫✬❊❋✵ ✈⑥✽✾❨❄P◗❖ ✯ (2)-(5). ⑦⑧ (5) ✯✽✾❯ ❳❢✐❥✯ ϕ, ψ, ∈ L(V ), λ ∈ K, α ∈ V , (λ(ϕψ))(α) = λ((ϕψ))(α) = λ(ϕ(ψ(α))) = ϕ(λ(ψ(α))) = ϕ((λψ)(α)) = (ϕ(λψ))(α), ❈ ❨ λ(ϕψ) = ϕ(λψ). ⑨✦ ✸ λ(ϕψ) = (λϕ)ψ. ✷ ❩ 1 ❳❢ V ✯ ✫✬❏❑ ϕ, ❉ ϕ nϕ m = ϕ n+m,(ϕ n ) m = ϕ nm; ⑩ ϕ ❶❷✸P◗ ϕ −n = (ϕ −1 ) n , ϕ0 = idV , ❱ ϕ −n = (ϕ n ) −1 . ❩ 2 ✻❸❹✸ ϕψ 6= ψϕ(❺ P148. ❻ ❼ 1). ❩ 3 ❂ ϕ, ψ ∈ L(V ), ϕ, ψ ❶❷✸ 0 6= λ ∈ K, ❱ (ϕψ) −1 = ψ −1ϕ −1 ,(λϕ) −1 = λ −1ϕ −1 . s 2 ❂ V1, V2 ✷✫✬✭✮ V ✯❽✭✮❲ V = V1 LV2. ❳ i = 1, 2, P◗ τi : V → Vi , α1 + α2 7→ αi ; σ1 : V1 → V, α1 7→ α1 + 0; σ2 : V2 → V, α2 7→ 0 + α2. ❱ τi , σ1, 1 ≤ i ≤ 2, ✷✫✬❊❋✸ ❲ ❞❡ τjσi = δij idVi , σ1τ1 + σ2τ2 = idV . ❪ τi ✹ ❾❿✔✕, σi ✹ ➀➁✔✕. ✿➂❯ P164 4; ➃➄❼❯ P180 9 ➅➆❯ P164 1, 2 2