厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第6章 特征值 §6.1 特征值与特征向量

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn 第六章特征值 §6.1特征值和特征向量 教学目的和要求掌握特征值与特征向量,特征子空间,特征多项式的概念,掌 握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩阵并应用于讨论问题.掌握判断和计算特征 值和特征向量的方法.注意矩阵与线性变换的对应结论.注意特征值的概念与数域 有关 特征值与特征向量 定义1设φ是n维线性空间V的线性变换.若存在A∈K,0≠a∈V,使 g(a)=Aa,则称入为线性变换φ的一个特征值,a称为φ关于特征值λ的特征 向量 注1设α是φ的属于特征值λ的特征向量,则α不是φ的属于另一个特征 值μ的特征向量.否则Aa=y(a)=a.所以(A-1)a=0,A≠p,所以a=0矛 盾 命题1设φ是n维线性空间V的线性变换,λ是φ的特征值,则 VA={a∈v|g(a)=a} 是V的子空间,且是φ不变子空间,称为φ的属于特征值λ的特征子空间. 证明V由φ的关于λ的所有特征向量和零向量组成,易证知V对于加法和数 乘封闭,因而是V的子空间.对于任意的a∈W,φ(a)∈V且y(y(a))=g(λa)= λ(a).所以φ(a)∈V,故认是φ不变子空间.口 注2设α是φ的关于λ的特征向量,β是φ的关于μ的特征向量,A≠p, 则a+β不是φ的特征向量.(留作思考题) 在同构意义下,我们有

| MB(!%` 3i IP *s 59.77.1.116; b￾ gdjpkc.xmu.edu.cn $%' &() §6.1 .mrL.mFq  j:.mr`.mFq.m{j[.m2E&j :>$a&dliTD(__dl[\_-x8/j: /LW*.m rL.mFq&85yVdl`CKR&0[bxyV.mr&`$a ^H R.mr`.mFq  1  ϕ  n 6CKj[ V &CKRe λ ∈ K, 0 6= α ∈ V ,  ϕ(α) = λα, f λ 5CKR ϕ &RC.mr α 5 ϕ H_.mr λ &.m Fq ! 1  α  ϕ &"_.mr λ &.mFqf α  ϕ &"_tRC.m r µ &.mFq=f λα = ϕ(α) = µα. +T (λ − µ)α = 0, λ 6= µ, +T α = 0 z 1  1  ϕ  n 6CKj[ V &CKR λ  ϕ &.mrf Vλ = {α ∈ V | ϕ(α) = λα}  V &{j[ ϕ- {j[5 ϕ &"_.mr λ &.m{j[  Vλ ℄ ϕ &H_ λ &+^.mFqLsFq}Uop Vλ 0_Y5L$ < Z3 V &{j[0_V& α ∈ Vλ, ϕ(α) ∈ V  ϕ(ϕ(α)) = ϕ(λα) = λϕ(α). +T ϕ(α) ∈ Vλ, G Vλ  ϕ- {j[ 2 ! 2  α  ϕ &H_ λ &.mFq β  ϕ &H_ µ &.mFq λ 6= µ, f α + β  ϕ &.mFq (v&h/). e2FVW?9}^ 1

定义2设A∈Kmxm,若存在0≠X∈Km×,A∈K,使得AX=AX,则称入 为A的一个特征值,ⅹ称为A关于特征值λ的特征向量 定义3设A∈Kn×n,A为A的一个特征值,V={X∈K×1|AX=AX} 称为A的属于特征值入的特征子空间 注3设φ∈C(V),φ在V的组基51,2,…,5n下矩阵为A,a∈V,a在 51,52,…,5n下的坐标向量为X.则有 Aa=A(51,52,……,5n)X=(51,52,…,5n)AX, )=(51,52,……,n)X)=9(51,52,……,5n)X=(51,52,…,5n)AX, 所以φ(a)=分AX=AX. 特征多项式 定义4设A∈K×n,称 JAI-AI 122 为A的特征多项式,记为f4(入 注4设λ是A的特征值,则存在0≠X∈Kmx,使AX=AX,所以(AI A)X=0.故|I-A=0,即入是fA(从)的根.反之,若入是fA(入)的根且A∈K, 则由(X-A)X=0可知(MI-A)X=0有非零解,即存在0≠X∈Kmx,使 AX=AX.所以fA()的在K上的根是A的特征值 命题2∫A(入)=f4( 证明|-4=|I-A1.口 命题3设A,B∈K×n,A相似于B,则fA(A)=fB().所以A和B有相同的 特征值. 证明因为A与B相似,故存在可逆阵P∈Kmx,使B=P-1AP.所以 fB()=JAI-B= JAP-P-P-API=IP-(AI-A)Pl=JAI-Al=fA(A).O

 2  A ∈ Kn×n , e 0 6= X ∈ Kn×1 , λ ∈ K, % AX = λX, f λ 5 A &RC.mr X 5 A H_.mr λ &.mFq  3  A ∈ Kn×n , λ 5 A &RC.mr Vλ = {X ∈ Kn×1 | AX = λX} 5 A &"_.mr λ &.m{j[ ! 3  ϕ ∈ L(V ), ϕ e V &R}S ξ1, ξ2, · · · , ξn ?dl5 A, α ∈ V , α e ξ1, ξ2, · · · , ξn ?&￾ Fq5 X. f^ λα = λ(ξ1, ξ2, · · · , ξn)X = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)λX, ϕ(α) = ϕ((ξ1, ξ2, · · · , ξn)X) = ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn)X = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)AX, +T ϕ(α) = λα ⇔ AX = λX. 4.m2E  4  A ∈ Kn×n ,  | λI − A | =         λ − a11 −a12 · · · −a1n −a21 λ − a22 · · · −a2n · · · · · · · · · · · · −an1 −an2 · · · λ − ann         5 A &.m2EX5 fA(λ). ! 4  λ  A &.mrfe 0 6= X ∈ Kn×1 ,  AX = λX, +T (λI − A)X = 0. G |λI − A| = 0, V λ  fA(λ) &E7q λ  fA(λ) &E λ ∈ K, f℄ (λI − A)X = 0 ip (λI − A)X = 0 ^:s Ve 0 6= X ∈ Kn×1 ,  AX = λX. +T fA(λ) &e K &E A &.mr  2 fA(λ) = fA ′(λ).  |λI − A| = |λI − A′ |. 2  3  A, B ∈ Kn×n ,A D(_ B, f fA(λ) = fB(λ). +T A L B ^D2& .mr  Z5 A ` B D(Geil P ∈ Kn×n ,  B = P −1AP. +T fB(λ) = |λI − B| = |λP −1P − P −1AP| = |P −1 (λI − A)P| = |λI − A| = fA(λ). 2 2

注5相似矩阵有相同的特征值,反之未必. 例1设A= B 则A与B有相同的特征值,但它们不相 似事实上,若A相似于B,则存在可逆阵P=(,使得PBP1=A.故有 d -b 1/△ 10 d 01 △+ 这里△=ad-bc≠0.易见a=c=0,△=0.矛盾 注6若A相似于三角阵U,则U的对角元即为A的特征值 注7设φ是n维空间V的线性变换,在某一组基下的矩阵为A,定义φ的特 征多项式为A的特征多项式,记f().即f()=fA()).因为φ在不同基下的矩 阵是相似的,相似的矩阵有相同的特征多项式,所以这样的定义是合理的 注8设A=(a1)nxn,fA(入)=|-A|=+a1-1 考虑|-4的展开式,可得到 (a11+a2+…+ann)=-tr(A),an=(-1)4 设fA(A)=(X-A1)(X-A2)…(A-An),由韦达定理知 a1=-(A1+A2+…+An),an=(-1)21)2…入 因而 tr(4)=A1+A+…+An,|4|=A1A2…An 般地,有如下定理: 定理设A=(a1)nxn2,A的特征多项式 则 b=(-1) 1<i1<i2<…<ik<n

! 5 D(dl^D2&.mr7q7  1  A =  1 0 0 1  , B =  1 1 0 1  , f A ` B ^D2&.mr",}D ( A D(_ B, feil P =  a b c d  , % PBP −1 = A. G^ 1 △  a b c d   1 1 0 1   d −b −c a  = 1 △  △ − ac a2 −c 2 △ + ac  =  1 0 0 1  , km △ = ad − bc 6= 0. U\ a = c = 0, △ = 0. z1 ! 6  A D(__l U, f U &0_ V5 A &.mr ! 7  ϕ  n 6j[ V &CKReR}S?&dl5 A, ,W ϕ &. m2E5 A &.m2EX fϕ(λ). V fϕ(λ) = fA(λ). Z5 ϕ e2S?&d lD(&D(&dl^D2&.m2E+TkO&,WNl& ! 8  A = (aij )n×n, fA(λ) = |λI − A| = λ n + a1λ n−1 + · · · + an−1λ + an hw |λI − A| &ggi%$ a1 = −(a11 + a22 + · · · + ann) = −tr(A), an = (−1)n |A|.  fA(λ) = (λ − λ1)(λ − λ2)· · ·(λ − λn), ℄4,lp a1 = −(λ1 + λ2 + · · · + λn), an = (−1)nλ1λ2 · · · λn. Z3 tr(A) = λ1 + λ2 + · · · + λn, |A| = λ1λ2 · · · λn. R)^?,l   A = (aij )n×n,A &.m2E fA(λ) = |λI − A| = λ n + b1λ n−1 + · · · + bn−1λ + bn, f bk = (−1)k X 1≤i1<i2<···<ik≤n         ai1i1 ai1i2 · · · ai1ik ai2i1 ai2i2 · · · ai2ik · · · · · · · · · · · · aiki1 aiki2 · · · aikik         3

其中1≤k≤m,和号 表示对满足i<i<…<k的所有可能的 至n中的整数i1,l2,…,k求和,特别地 b1 bn=(-1)4 证明留做”挑战习题”,也可参阅有关参考书 特征值与特征向量的计算 第一步:求∫A(入)=|A-4 第二步:求fA()的所有根其中在K上的根为特征值; 第三步:对每个特征值λ0,求(01-4)X=0的基础解系X1,X2…,X,则 k1X1+k2X2+…+k3X3,其中k不全为0,为所求对应λ的特征向量 例2求0ab的特征值与特征向量1,a,d两两互异,b≠0 解 fA(入) A-a-b=(X-1)-a)(-d) 00 0 当A1=1时,A1-A=01-a-b,X1=0,k≠0 001-d a-100 0 当A=a时,A21-A=00-b X k|,k≠ 00a-d 0 d-100 当A3=d时,A3I-A=0d k,k≠0 例3求22 的特征值与特征向量. 解 f4(x)=-2x-2

v 1 ≤ k ≤ n, LK X 1≤i1 X1, X2, · · · , Xs, f k1X1 + k2X2 + · · · + ksXs, v ki Æ5 0, 5+0[ λ0 &.mFq  2    1 0 0 0 a b 0 0 d   &.mr`.mFq 1, a, d ppPY b 6= 0.  fA(λ) =       λ − 1 λ − a −b λ − d       = (λ − 1)(λ − a)(λ − d). # λ1 = 1  λ1I − A =   0 0 0 0 1 − a −b 0 0 1 − d   , X1 =   k 0 0   , k 6= 0. # λ2 = a  λ2I − A =   a − 1 0 0 0 0 −b 0 0 a − d   , X2 =   0 k 0   , k 6= 0. # λ3 = d  λ3I − A =   d − 1 0 0 0 d − a −b 0 0 0   , X3 =   0 b d−a k k   , k 6= 0.  3    3 1 −1 2 2 −1 2 2 0   &.mr`.mFq  fA(λ) =       λ − 3 −1 1 −2 λ − 2 1 −2 −2 λ       = (λ − 1)(λ − 2)2 . 4

当λ1=1时, -201 A1-4)=-2-11 010 2-21 000 所以属于特征值λ=1的特征向量是X1=(k,0,2k),0≠k∈K 当A2=A3=2时, (2-A)=-201→-201 所以属于特征值A2=A3=2的特征向量是(k,k,2k),0≠k∈K 例4在有理数城上求(1-)的特征值 解λ12=±,无有理特征值 四.上三角标准型及其应用 定理任一复方阵必(复)相似于一上三角阵 证明法一(矩阵方法) 设A∈Cmx,对n作归纳法.当n=1时,结论显然.设对n-1阶成立.对 n阶方阵A,A至少有一特征值A∈C,相应的一个特征向量为X1∈Cnx1,即 AX1=入1X1 将X1扩为Cnx1的一组基X1,X2,…,Xn,令B1=(X1,X2,…,Xn),则P1是复可 逆阵,且AP=B(0 因为A1是C上n-1阶方阵,由归纳假设,存在n-1阶复可逆阵P使 P21A1P2为上三角阵L,令P=B 0 P 则P是复可逆阵,且 P-4P=( 法二(线性变换角度).先将其“翻译”为线性变换描述形式.对n作归纳法. 当n=1时,A视作φ:V→V(其中dimV=1)在V的一组基下的表示矩阵

# λ1 = 1  (λ1I − A) =   −2 −1 1 −2 −1 1 −2 −2 1   →   −2 0 1 0 1 0 0 0 0   , +T"_.mr λ1 = 1 &.mFq X1 = (k, 0, 2k) ′ , 0 6= k ∈ K. # λ2 = λ3 = 2  (λ2I − A) =   −1 −1 1 −2 0 1 −2 −2 2   →   1 −1 0 −2 0 1 0 0 0   , +T"_.mr λ2 = λ3 = 2 &.mFq (k, k, 2k) ′ , 0 6= k ∈ K.  4 e^l$a  0 −1 1 0  &.mr  λ1,2 = ±i, ;^l.mr '_ zHU [\  R>8l (>) D(_R_l   ( ).  A ∈ C n×n , 0 n I5# n = 1 bxB0 n − 1 ao0 n a8l A, A t^R.mr λ1 ∈ C, D[&RC.mFq5 X1 ∈ C n×1 , V AX1 = λ1X1. ^ X1 k5 C n×1 &R}S X1, X2, · · · , Xn. u P1 = (X1, X2, · · · , Xn), f P1 >i l AP1 = P1  λ1 ∗ 0 A1  . Z5 A1  C  n − 1 a8l℄IZe n − 1 a>il P2  P −1 2 A1P2 5_l L, u P = P1  1 0 0 P2  , f P >il P −1AP =  λ1 ∗ 0 L  .  (
). A^ ￾6X
5CKR#I0 n I5 # n = 1  A  ϕ : V → V ( v dimV = 1) e V &R}S?&Ædl 5

结论成立;题当A为n-1阶矩阵线结论成立.对n阶矩阵A,A为p:V→ V(dimV=n,V为C上线性空间)在V的一组基下的表示矩阵.对该,A1为 φ的特征值,a1为角对应的特征向量.将a1扩为V的一组基a1,a2,…,an,令 V1=span{an},V2=span{a2,a3,……,an},则V=V⊕V.yp(a1,a2,……,an) A1 B an)(0 A 在V中定义v,使得 此线dimV2=m-1.由归度假题,在V中存在基β2,B3,…,B2,使得 v(2,B3,…,An)=(2,3,…,Bn)U, 角中U为上三角阵.P1为从a2,a3,…,an到2,β,…,An的过渡矩阵.即 (2,B,…,An)=(a2,a3,…,an)P1, 则在β2,B3,…,Bn下的表示矩阵U与角在a2,a3,…,an下的表示矩阵相似,即 U=片4B令P=(),则P可法且(,…,4)=(m2…mP 从而a1,B2,……,Bn一V的一组基, y(a1,B2,…,An)=g(a1,a2,……,an)P=(a1,a2,…,an)AP=(a1,B2,…,An)P1AP 从而 P=(b)()(bP)=() 注9数域K上的矩阵未必都相似于k上三角阵明A=(2-1)∈ 题 R上二阶可法矩阵,且PAP-1=B.则B=PAP-1 ac +2bd -2b2-a 2P+c2-2bd-ac),所以c=d= 0,故B 这样B有特征值0,与A的特征值不同.矛盾 注10命数域K上的n阶方阵所有n个特征值全在K中,则必存在K上n 阶可法阵P,使P-1AP为上三角阵

bxo# A 5 n − 1 adlbxo0 n adl A, A 5 ϕ : V → V (dimV = n, V 5 C CKj[) e V &R}S?&Ædl0? ϕ, λ1 5 ϕ &.mr α1 5 0[&.mFq^ α1 k5 V &R}S α1, α2, · · · , αn, u V1 = span{α1}, V2 = span{α2, α3, · · · , αn}, f V = V1 ⊕ V2. ϕ(α1, α2, · · · , αn) = (α1, α2, · · · , αn)  λ1 β 0 A2  . e V2 v,W ψ, % ψ(α2, α3, · · · , αn) = (α2, α3, · · · , αn)A2.  dimV2 = n − 1. ℄IZe V2 veS β2, β3, · · · , βn, % ψ(β2, β3, · · · , βn) = (β2, β3, · · · , βn)U, v U 5_l P1 5 α2, α3, · · · , αn $ β2, β3, · · · , βn &J.dlV (β2, β3, · · · , βn) = (α2, α3, · · · , αn)P1, f ψ e β2, β3, · · · , βn ?&Ædl U ` e α2, α3, · · · , αn ?&ÆdlD(V U = P −1 1 A2P1. u P =  1 0 0 P1  , f P i (α1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)P, 3 α1, β2, · · · , βn  V &R}S ϕ(α1, β2, · · · , βn) = ϕ(α1, α2, · · · , αn)P = (α1, α2, · · · , αn)AP = (α1, β2, · · · , βn)P −1AP, 3 P −1AP =  1 0 0 P1   λ β 0 A2   1 0 0 P  =  λ βP 0 U  . 2 ! 9 $a K &dl7 -D(_ K _l A =  0 −1 2 0  ∈ R 2×2 .  P =  a b c d   R 4aidl PAP −1 = B. f B = PAP −1 = 1 ad−bc  a b c d   0 −1 2 0   d −b −c a  =  ac + 2bd −2b 2 − a 2 2d 2 + c 2 −2bd − ac  , +T c = d = 0, G B =  ⋆ ⋆ 0 0  . kO B ^.mr 0, ` A &.mr2z1 2 ! 10 $a K & n a8l+^ n C.mrÆe K vf e K  n ail P,  P −1AP 5_l 6

注11在同构意义下,定理为 定理设φ是C上n维空间V的线性变换,则存在V的一组基,使得φ在这 组基下的矩阵是上三角阵.这时主对角线上元素是p的所有特征值 例5设A∈Kn×n,g(x)∈K[x], (1)若λ是A的特征值,则g(入)是9(4)的特征值 (2)若A,入 是A的全部特征值,则g(1),9(A2),…,9(An)是g(A)的 全部特征值 证明(1)因AX=AX,则A2X=A2X,从而4X=XX,且(sA2+tA)X (s2+t))x,故g(A)X=9(入)X,即X是g(A)对应于g(入)的特征向量.9(入)为 g(A)的特征值 (2)因为A有n个特征值,故相似于上三角阵,即有P∈K×n,使 P-lAP 0入 00 计算可得 (P-lAP)=P-A'P 0入 00 从而 (A)P=g(P-AP) 09(A2) 0 0 g(An 故g(4)的全部特征值是g(A1),9(A2),…,9(An) 例6设A∈Kx且|4≠0,设A的特征值为A1,入 (1)A≠0,1≤i≤m; (2)A1,21,…,A是A-1的全部特征值; (3)|AA1,|42,…,|Az是A*的全部特征值 证明(1)因|4=AA2…An即得

! 11 e2FVW?,l5   ϕ  C  n 6j[ V &CKRfe V &R}S% ϕ ek }S?&dl_lkx0_C ) ϕ &+^.mr  5  A ∈ Kn×n , g(x) ∈ K[x], (1)  λ  A &.mrf g(λ)  g(A) &.mr (2)  λ1, λ2, · · · , λn  A &Æ.mrf g(λ1), g(λ2), · · · , g(λn)  g(A) & Æ.mr  (1) Z AX = λX, f A2X = λ 2X, 3 AkX = λ kX,  (sAi + tAj )X = (sλi + tλj )X, G g(A)X = g(λ)X, V X  g(A) 0[_ g(λ) &.mFq g(λ) 5 g(A) &.mr (2) Z5 A ^ n C.mrGD(__lV^ P ∈ Kn×n ,  P −1AP =   λ1 ∗ · · · ∗ 0 λ2 · · · ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λn   W*i% (P −1AP) k = P −1A kP =   λ k 1 ∗ · · · ∗ 0 λ k 2 · · · ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λ k n   3 P −1 g(A)P = g(P −1AP) =   g(λ1) ∗ · · · ∗ 0 g(λ2) · · · ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · g(λn)   G g(A) &Æ.mr g(λ1), g(λ2), · · · , g(λn). 2  6  A ∈ Kn×n  |A| 6= 0,  A &.mr5 λ1, λ2, · · · , λn. (1) λi 6= 0, 1 ≤ i ≤ n; (2) λ −1 1 , λ−1 2 , · · · , λ−1 n  A−1 &Æ.mr (3) |A|λ −1 1 , |A|λ −1 2 , · · · , |A|λ −1 n  A∗ &Æ.mr  (1) Z |A| = λ1λ2 · · · λn V% 7

(2)由定理,存在可逆阵P,使得 P-LAP 0入2 00 故有 P4D=0A2** 00 00 所以1,1,…,A1是A-1的全部特征值 (3)由A*=|4A-即得.同 封.例 例7称n阶方阵A存合9(x),即9(4)=0.则A的特征值也存合g(x),即 9()=0 证明称AX=AX,则g(入)X=9(4)X=0.而X≠0,所以g(入)=0.同 例8称A,B法n阶方阵,变证fAB()=fBA(入) 证明(法换) 令f(a1,a12,…,anmn)=|A,g(a1,a12,……,am)=I-AB|-|M-BA,当 f(a1,a12,…,am)≠0成A可逆,A-1ABA=BA,即AB相等角BA,所以 g(a1,a12,…,anmn)=0.故g(a1,.12,…,am)=0,即fAB(入)=fBA(入 (法二)(1)当|4≠0成,A-1(AB)A=BA,故AB教BA相等,命断成立 (2)当|4|=0成,比+4另口有n个根,故存在to∈R,使得并意t>to 成,恒有|I+A|≠0.由(1)知对并意给定的B,(tI+A)B教B(tI+A)相等,即 AI-(tI+A)B=AI-b(tI A) 令9(t)=|I-(tI+A)B--B(I+A川则deg(t)≤n,取n+1个不多的 数t1,t2,……,tn+1>to,均有g(t)=0,1≤i≤n+1,故g(t)=0.特别地9(0)=0 故|I-AB|=M-BA,.同

(2) ℄,leil P, % P −1AP =   λ1 ∗ ∗ ∗ 0 λ2 ∗ ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λn   G^ P −1A −1P =   λ1 ∗ ∗ ∗ 0 λ2 ∗ ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λn   −1 =   λ −1 1 ∗ ∗ ∗ 0 λ −1 2 ∗ ∗ · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · λ −1 n   +T λ −1 1 , λ−1 2 , · · · , λ−1 n  A−1 &Æ.mr (3) ℄ A∗ = |A|A−1 V% 2 t0 O^ |tI + A| 6= 0. ℄ (1) p0VD,& B, (tI + A)B ` B(tI + A) D(V |λI − (tI + A)B| = |λI − B(tI + A)|. u g(t) = |λI − (tI + A)B| − |λI − B(tI + A)|, f degg(t) ≤ n, n + 1 C2& $ t1, t2, · · · , tn+1 > t0, f^ g(ti) = 0, 1 ≤ i ≤ n + 1, G g(t) = 0. .) g(0) = 0, G |λI − AB| = |λI − BA|. 2 8

Ⅰ-A\/AA 0 A-AB 1 B 入B B入 ⅠB 两边取行列式即得 (法四) A-A B AI)0I AB AI-BA ⅠA AⅠ0 AI一ABA B入I B I 两边取行列式即得.口 法面设(4)=,则存在可阵PQ使A=P(b0)Q令QBP= C D F G 则 P-()P =AI-P-1AQ-IQBP=-(O(F D) D 00 0 Q(I-BA)Q-1=XI-QBPP-1AQ-1=AL-C D(,0 FG八(00 C 0 AI-C 0 F 0 两边取行列式即得 例9A∈Km×,B∈Km×m,且m≥n.求证: (1)AI-AB=m-nJAI- BAl (2)tr(AB)=tr(BA) (3)设B,B2,……,Bn是m个同阶矩阵A1,A2,…,Am的任何循环排列,则 A1,A2,……,Am与B1,B2,…,Bmn有相同特征多项式,因而有相同特征值和迹. 证明(1)(法一)

(5)  I −A 0 λI   A λI I B  =  0 λI − AB λI λB  ,  I 0 −B λI   A λI I B  =  A λI λI − BA 0  , p JrV% 2 (5')  I A B λI   λI −A 0 I  =  λI 0 λB λI − BA   I A B λI   λI 0 −B I  =  λI − AB A 0 λI  p JrV% 2 (5<)  r(A) = r, feil P, Q,  A = P  Ir 0 0 0  Q. u QBP =  C D F G  , f P −1 (λI − AB)P = λI − P −1AQ−1QBP = λI −  Ir 0 0 0   C D F G  = λI −  C D 0 0  =  λI − C −D 0 λI  Q(λI − BA)Q−1 = λI − QBPP −1AQ−1 = λI −  C D F G   Ir 0 0 0  = λI −  C 0 F 0  =  λI − C 0 −F λI  p JrV% 2  9 A ∈ Km×n ,B ∈ Kn×m,  m ≥ n. o (1) |λI − AB| = λ m−n |λI − BA|; (2) tr(AB) = tr(BA); (3)  B1, B2, · · · , Bm  m C2adl A1, A2, · · · , Am &MNQrf A1, A2, · · · , Am ` B1, B2, · · · , Bm ^D2.m2EZ3^D2.mrLT  (1)(5R) 9

当m>n时.若A≠0,则 Im 0/AIm-AB A/Im 0 In八(BIn A 0 In-A-BA 所以|-AB|=入 BA|=Mm-MⅠ-BA.若 入=0,因为r(AB)≤m<m,所以|AB=0=0m=-BA 当m=n时.若A≠0,即上面的例子.若入=0,则|0Zn-AB|=|-AB|= 1-BA=J0I-BA 法2)令41=(40)m,B1=(b)由上例知一4 B1A1|故|A-A1B1 AB,而 JAI-B1All BA 0 AⅠ-B4 2)由矩阵特征多项式第二高次项系数为矩阵之迹,即得; (3)由(1),(2)即得 (b)(4)=( AIm -AB 0 B In Im 0/AlmA 0 ALN-BA 两边取行列式即得.口 例10设a=( )∈R1xn,且 1,求In-2a′a的特征值 解λ是A=In-2aa的特征值,则 (A-1)n+2aa|=(A-1)=l(A-1)+2aa=(-1)-1(A+1) 故1为n-1重特征值,-1为1重特征值.口 例11已知n阶矩阵的秩等于n-1,其特征值为A1,A2,……An,试求A*的全部 特征值. 解因r(4)=n-1,故A至少有一个特征值为0,不妨设A=0.对A,存在可 逆矩阵P,使得P-1AP =B,则B*=PA(P)-1与A 相似,从而与A*有相同特征值

# m > n  λ 6= 0, f  Im 0 −λ −1B In   λIm − AB A 0 In   Im 0 B In  =  λIm A 0 In − λ −1BA  , +T |λI − AB| = λ m|I − λ −1BA| = λ m−n |λI − BA|.  λ = 0, Z5 r(AB) ≤ m $5dlqTV% (3) ℄ (1), (2) V% (5)  Im −A 0 In   λIm A B In  =  λIm − AB 0 B In  ,  Im 0 −B λIn   λIm A B In  =  λIm A 0 λIn − BA  , p JrV% 2  10  α = ( a1 a2 · · · an ) ∈ R 1×n ,  αα′ = 1,  In − 2α ′α &.mr  λ  A = In − 2α ′α &.mrf |(λ − 1)In + 2α ′α| = (λ − 1)n−1 |(λ − 1) + 2αα′ | = (λ − 1)n−1 (λ + 1), G 1 5 n − 1 w.mr −1 5 1 w.mr 2  11 Sp n adl&u'_ n − 1, .mr5 λ1, λ2, · · · λn.  A∗ &Æ .mr  Z r(A) = n − 1, G A t^RC.mr5 0, 9 λn = 0. 0 A, ei dl P, % P −1AP =   λ1 ∗ · · · ∗ λ2 · · · ∗ . . . . . . λn   := B, f B∗ = P ∗A∗ (P ∗ ) −1 ` A∗ D(3` A∗ ^D2.mr 10