厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第6章 特征值 §6.2 对角化

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §6.2对角化 教学目的与要求掌握矩阵(线性变换)可对角化的定义;理解和计算特征值的 代数重数与几何重数;掌握可对角化的等价命题;能判断一个矩阵是否可对角化, 在可对角化时将其对角化 可对角化定义 定义设φ是数域K上的n维线性空间V的线性变换,若存在V的一组基, 使得φ在该基下的表示矩阵为对角阵,则称φ是可对角化的 定义设A是数域K上n阶方阵,若存在可逆阵P∈KXn,使得P-AP为 对角阵,则称A是可对角化矩阵 注1若φ在某组基下的表示矩阵为对角阵,则对角元在不考虑排列顺序条件 下是唯一确定的,他们恰是∫(λ的所有特征值 注2若A是可对角化矩阵,即存在可逆阵P∈K×,使得P-AP为对角 阵.则P的列向量恰为A的特征向量 注3设A在C上可对角化,则A未必在Kmx上可对角化,因为它可能 在K上没有n个特征值.例A=(01 在C上特征值为a,-i,但没有实特 征值 二.特征子空间的直和 命题设A1,A2…,λ是数域K上n维线性空间V上线性变换φ的不同特征 值,V为φ属于特征值入的特征子空间,则 Vx1+Vx2+…+V=VA1VA2田……V 证明对k用数学归纳法.若k=1,则结论显然成立.现设结论对k-1个特 征值A1,A2,……,A-1,它们相应的特征子空间V1,W2…+V1之和是直和.要 证V1+W2+…+Vk是直和,只需证明Vx∩(Wx1+V2+…+Wk-1)=0即

_%/F ; IP E 59.77.1.116; 7 gdjpkc.xmu.edu.cn §6.2 #E9 Q`YOdaZ (!:) M#E9!-QI5>?D I5=6I-M#E9￾ 9M#E9zDk#E9
(
M#E9!- P y ϕ 6 K w n !NA V !:￾u9 V (M;￾ | ϕ 9.; ~J>#E>￾: ϕ M#E9
P ’ y A 6 K w n G*>￾u9Mh> P ∈ Kn×n , | P −1AP  #E>￾: A M#E9J>
g 1 u ϕ 9eM; ~J>#E>￾:#E89 L[iW#ÆC (r!￾ `l fϕ(λ) 3?D
g 2 u A M#E9J>￾ P ∈ Kn×n , | P −1AP #E >
: P W Vl A ? V
g 3 y A 9 C n×n wM#E9￾: A 9 Kn×n wM#E9￾/ Mg 9 K w^3 n 0?D
S A =  0 1 −1 0  9 C w?D i, −i, ^3{ ?D
'
?LNAC5 X\ y λ1, λ2 · · · , λk 6 K w n !NA V w!: ϕ  ? D￾ Vλi  ϕ
4?D λi ?LNA￾: Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλk . fW # k 1$4f(
u k = 1, :H\sÆT
yH\# k − 1 0 ?D λ1, λ2, · · · , λk−1, `0?LNA Vλ1 , Vλ2 , · · · + Vλk−1 B5C5
'  Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk C5￾F"b Vλk ∩ (Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk−1 ) = 0 < 1

可.设v∈V∩(V Vx-1),则 V入,1≤i≤k (1) 将上式两边作用p,得 (v)=y(1)+y(v2)+…+(k-1) (1)两边同乘以λk,减去上式,得 0=(k-A1)1+(A-A2)2+…+(Ak-入k-1)k-1 由归纳假设,V1+V2+…+V1是直和,因此(λ-A)2=0,而入-A≠0 所以v=0,1≤i≤k-1,代入(1)式得υ=0.故命题得证.口 命题A∈K,A1,A,……,λk∈K是A的互异特征值,V为相应特征子空 间,则V1+V2+…+V=Vx1Vx2…由V 推论1线性变换φ属于不同特征值的特征向量必线性无关. 推论1矩阵A属于不同特征值的特征向量必线性无关 推论2线性变换φ有n个不同特征值,则必存在V的某个基,使φ在该基 下的表示矩阵为对角阵(必可对角化),反之未必 推论2矩阵A在K上有n个不同特征值,则必存在可逆矩阵P,使P-AP 为对角阵(A必可对角化),反之未必 线性变换的代数重数与几何重数 命题设φ是n维线性空间V的线性变换,λ是φ的特征值.设A是φp的 特征多项式的m重根,A0的特征子空间V的维数为t,则t≤m 证明设51,52,……,5t是V。的一组基,由定义知φ(5)=M05,1≤i≤t.将 5t扩为V的一组基51,52,……,5t,5t+1,…,5n,则y在该基下的表示矩阵 为 A Aolt Al

M
y v ∈ Vλk ∩ (Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk−1 ), : v = v1 + v2 + · · · + vk−1, vi ∈ Vλi , 1 ≤ i ≤ k − 1 (1) Dw}UN1 ϕ,  ϕ(v) = ϕ(v1) + ϕ(v2) + · · · + ϕ(vk−1), λkv = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λk−1vk−1, (1) U* λk, Bpw}￾ 0 = (λk − λ1)v1 + (λk − λ2)v2 + · · · + (λk − λk−1)vk−1. 24f?y￾ Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk−1 C5￾/ (λk − λi)vi = 0, & λk − λi 6= 0, * vi = 0 , 1 ≤ i ≤ k − 1, t (1) } v = 0. 2d 
2 X\’ A ∈ Kn×n ,λ1, λ2, · · · , λk ∈ K  A 8.?D￾ Vλi 0?LN A￾: Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλk . ^V 1 !: ϕ
4 ?D? V!3
^V 1’ J> A
4 ?D? V!3
^V 2 !: ϕ 3 n 0 ?D￾:9 V e0;￾| ϕ 9.;  ~J>#E> (ϕ M#E9), )B
^V 2’ J> A 9 K w3 n 0 ?D￾:9MhJ> P, | P −1AP #E> (A M#E9), )B
v
!:I5=6I X\ y ϕ  n !NA V !:￾ λ0  ϕ ?D
y λ0  ϕ  ?%} m I1￾ λ0 ?LNA Vλ0  t, : t ≤ m. fW y ξ1, ξ2, · · · , ξt  Vλ0 (M;￾2!-A ϕ(ξi) = λ0ξi , 1 ≤ i ≤ t. D ξ1, ξ2, · · · , ξt O V (M; ξ1, ξ2, · · · , ξt , ξt+1, · · · , ξn, : ϕ 9.; ~J>  A =  λ0It A12 0 A22  n×n , 2

从而f())=(A-0)2g()),即λ至少是f(入)的t重根.即t≤m 定义设φ是数域K上n维线性空间V上的线性变换,A0是f(入的m重 根,Vo为φ的属于λ的特征子空间.则称m为的代数重数,t=dimV称 为λ的几何重数 四.可对角化的充分必要条件 定理设φ是数域K上n维线性空间V的线性变换,则下列命题等价: (1)φ可对角化; (2)φ有n个线性无关的特征向量; (3)V=Vx1V2…⊕V,这里A1,A2…,A是9的全部互异特征值; (4)∑dmV=n,这里A,…入是9的全部特征值 (5)φ的特征多项式的所有根全部在K上,且特征值的代数重数等于几何重 数. 证明(1)→(2)设φ可对角化,则y在V的某组基51,52,…,En下的表示矩 阵为对角阵,即 y(51,52,…,5n)=(51,52…,5n) 即()=),1≤i≤n.所以1,2,…,5n即为φ的特征向量且线性无关 2)→(3)由上面的命题知W1+Vx2+…+V=V1V2④…⊕V因为 (2)成立,故dm(WA1V2…⊕VA,)=m,故V=VA1W2…田V (3)→(4)显然 (4)→(5)(反证法)设m为入的代数重数,t为入的几何重数,则m≥ t,1≤i≤s.f(=(A-A1)m1(A-A2)m2…(X-Am9(),这里9()≠0 1≤i≤s.根据条件有∑m≤n=∑m=∑t≤∑m,所以t=m 且∑m=n这样f(x)=(-A)m(-2)m…(-入)m,即的特征多项 式的所有根全部在K上,且特征值的代数重数等于几何重数

& fϕ(λ) = (λ − λ0) t g(λ), #E>￾< ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)   λ1 λ2 . . . λn   , < ϕ(ξi) = λiξi , 1 ≤ i ≤ n. * ξ1, ξ2, · · · , ξn < ϕ ? Vm!3
(2) ⇒ (3) 2wad A Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλs = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλs . / (2) ÆT￾2 dim(Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλs ) = n, 2 V = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλs . (3) ⇒ (4) s
(4) ⇒ (5) ()() y mi  λi I￾ ti  λi =6I￾: mi ≥ ti , 1 ≤ i ≤ s. fϕ(λ) = (λ − λ1) m1 (λ − λ2) m2 · · ·(λ − λs) ms g(λ), =R g(λi) 6= 0, 1 ≤ i ≤ s. 1KÆC3 Xs i=1 mi ≤ n = Xs i=1 dim Vλi = Xs i=1 ti ≤ Xs i=1 mi , * ti = mi m Xs i=1 mi = n. =& fϕ(x) = (λ − λ1) m1 (λ − λ2) m2 · · ·(λ − λs) ms , < ϕ ?% }31q9 K w￾m?DI4=6I
3

(5)→(1)因n=∑m1=∑t,由上面的命题知V=V1田…V取 Vx,的一组基an,aa2, 1≤i≤s,则 a1m121 asm。恰是V的一组基 y(a1,…,a1m,a21,……,a2m2,……,asl,…,asm) AlIm 入2l a1m1,21,···,O2m2,,as1, 即φ可对角化 注对n阶方阵A,有对应的结论 五.判定A是否可对角化和求可逆阵P的方法 步骤1.求∫()所有互异特征值λ,重数m,1≤i≤ 步骤2.求V的一组基51,…,5;,1≤i≤s; 步骤3.若有某t1<m,则A不可对角化,若所有t=m,则A可对角化; 步骤4.令P=(51,…,5t1,…,51,……,5s,),则 入1lt P-lAP= Alt 例1判断A是否相似对角阵,若是,求出可逆阵P,使P-AP为对角阵 100 (1)A=001(2)B 25-2 解(1)因为fA()=0入 A3,所以A1=0是三重根而r00-1 00入 2,所以特征值入1的几何重数(1)不等于其代数重数(3),故A不可对角化

(5) ⇒ (1) / n = Xs i=1 mi = Xs i=1 ti , 2wad A V = Vλ1⊕Vλ2⊕· · ·⊕Vλs . o Vλi (M; αi1, αi2, · · · , αimi ,1 ≤ i ≤ s, : α11, · · · , α1m1 , α21, · · · , α2m2 , · · · , αs1, · · ·, αsms l V (M;
ϕ(α11, · · · , α1m1 , α21, · · · , α2m2 , · · · , αs1, · · · , αsms ) = (α11, · · · , α1m1 , α21, · · · , α2m2 , · · · , αs1, · · · , αsms )   λ1Im1 λ2Im2 . . . λsIms   , A, 3#0H\

j! A -M#E95nMh> P *( J 1. n fϕ(λ) 38.?D λi , I mi , 1 ≤ i ≤ s; J 2. n Vλi (M; ξi1, · · · , ξiti , 1 ≤ i ≤ s; J 3. u3e ti ￾u￾nMh> P, | P −1AP #E>
(1) A =   0 1 0 0 0 1 0 0 0   (2) B =   1 0 0 −2 5 −2 −2 4 −1   R (1) / fA(λ) =       λ −1 0 0 λ −1 0 0 λ       = λ 3 , * λ1 = 0 vI1
& r   0 −1 0 0 0 −1 0 0 0   = 2, *?D λ1 =6I (1) 4kI (3), 2 A M#E9
4

入-10 0 (2)fB()=2X-52=(X-1)2(X-3),口有A1=1(2重; A2=3(1重 解(A1-A)X=0,即2-42x=0,得到基础解代1 解(2-4)X=0,即2-22x=0,得到基础解代521= 口A可对角化,令P=(5151521),则P-1AP=1 亦可令Q=101,则Q-AQ 111 例2计算A0,其结A= 10 解根上例方法求得存化可逆阵P 使得P-1AP 10 1 0 例3设3阶矩阵A的特征值为1,1,3,对应的特征向量依次为(2,1,0)y,(-1,0.,1)y (0,1,1).求矩阵A 2-10 解令P=101,B 则P1AP=B.从而A 011 100 PBP-I 例4求证: (1)若矩阵A,合A2=Ln,则A必可对角化; (2)若矩阵A,合A2=A,则A必可对角化;

(2) fB(λ) =   λ − 1 0 0 2 λ − 5 2 2 −4 λ + 1   = (λ − 1)2 (λ − 3), 23 λ1 = 1 (2 I); λ2 = 3 (1 I). I (λ1 − A)X = 0,  A10 , kH A =  1 0 1 −2  . R 1wS*(n9Mh> P =  1 0 1 1  , | P −1AP =  1 0 0 −2  , 2 A10 =  P  1 0 0 −2  P −1 10 = P  1 0 0 −2 10 P −1 =  1 0 1 − 2 10 2 10  . U 3 y 3 GJ> A ?D 1,1,3, #0? V) (2, 1, 0)′ , (−1, 0, 1)′ , (0, 1, 1)′ . nJ> A. R Z P =   2 −1 0 1 0 1 0 1 1  , B =   1 1 3  . : P −1AP = B. & A = P BP −1 =   1 0 0 −2 5 −2 −2 4 −1  . U 4 n (1) uJ> A ￾7 A 2 = In, : A M#E9 (2) uJ> A ￾7 A2 = A, : A M#E9 5

(3)若A是非零矩阵且A4=0,则A必不能对角化; (4)若实矩阵A适合A2+A+Ln=0,则A在实数域上不可对角化 证明(1)因为A2=Ln,即(I+A)(I-A)=0,所以r(I+A)+r(I-A)≤n 另一方面,r(I-A)+r(I+4)≥r(21)=m.因此r(I+A)+7(-A)=n.注意 到dmV1=m-r(I-A,dimV-1=n-r(I+A),故dmV+dmV1=n.所以 A可对角化 (2)同(1)类似讨论 (3)因为A=0,所以若AX=AX,X≠0,则入=0.若A可对角化,则A 相似与0,从而r(4)=0,与题设A≠0矛盾 (4)因A适合A2+A+In=0,若X≠0,AX=AX,则2+A+1=0,而 A2++1=0无实根,故A无实根,从而在实数域上不可对角化.口 作业P2414,5,9,10(2-4),11,12;P2497,8 思考题P417,8 选做题P25117,18 挑战题P2915

(3) u A +XJ>m Ak = 0, : A  g#E9 (4) u{J> A ￾7 A2 + A + In = 0, : A 9{6w M#E9
fW (1) / A2 = In, < (I + A)(I − A) = 0, * r(I + A) + r(I − A) ≤ n. Y(*a￾ r(I − A) + r(I + A) ≥ r(2I) = n. / r(I + A) + r(I − A) = n. K,  dimV1 = n − r(I − A), dimV−1 = n − r(I + A), 2 dimV1 + dimV−1 = n. * A M#E9
(2)  (1) P\
(3) / A k = 0, *u AX = λX, X 6= 0, : λ = 0. u A M#E9￾: A 5 0, & r(A) = 0, 5 y A 6= 0 ℄$
(4) / A ￾7 A2 + A + In = 0, u X 6= 0,AX = λX, : λ 2 + λ + 1 = 0, & λ 2 + λ + 1 = 0 {1￾2 A {1￾&9{6w M#E9
2 ib P241 4, 5, 9, 10(2-4), 11, 12; P249 7, 8. [S\ P241 7, 8. _h\ P251 17, 18. ℄e\ P229 15. 6