厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第5章 多项式 §5.2 整除

厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §5.2整除 教学目的和要求掌握带余除法的内容和证明方法.熟练用带余除法,待定系 数法,凑项法解答整除的有关问题. 定义设f(x),9(x)∈K],若存在h(x)∈K[],使得∫(x)=g(x)h(x),则 称g(x)是∫(x)的因式,或g(x)可以整除f(x),或∫(x)可被g(x)整除,记为 g(x)f(x).否则称g(x)不能整除f(x),记为g(x)十f(x) 注设0≠f(x)∈K可,0≠c∈K,则 (1)cf(x)f(x); (2)clf(x); (3)f(x)f(x); (4)f(x)0,但0十f(x); 5)00 问2整除1否? 整除的性质 (1)f(x)9(x),则对任意0≠c∈K,都有cf(x)g(x) (2)f(x)g(x),g(x)f(x),则存在0≠c∈K,使得f(x)=cg(x); (3)f(x)9(x),g(x)h(x),则f(x)h(x) (4)f(x)g(x),f(x)h(x),则对任意u(x),(x)∈K],都有f(x)g(x)u(x)+ h(a)u(a) 证明根据定义.口 称适合性质(2)的两多项式f(x),g(x)为相伴多项式,记为f(x)~9(x 带余除法定理设∫(x),g(x)∈K{以],且g(x)≠0,则存在唯一q(x),r(x)∈Klr], 使得∫(x)=9(x)q(x)+r(x),这里degr(x)<deg(x) 证明当∫(x)=0或degf(x)<deg(x)时,令q(x)=0,r(x)=f(x)即可 设degf(x)≥deg(x),对degf(x)作数学归纳法

wM-j: o IP  59.77.1.116; ÆQ gdjpkc.xmu.edu.cn §5.2 0 #,)"-* t'T[2P)'
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2 g3} (2) F%{d f(x), g(x) qz%{d￾7q f(x) ∼ g(x). /! % ` f(x), g(x) ∈ K[x], W g(x) 6= 0, p q(x), r(x) ∈ K[x],  f(x) = g(x)q(x) + r(x), C degr(x) < degg(x). 1(  f(x) = 0 5 degf(x) < degg(x) a￾I q(x) = 0, r(x) = f(x) 6A
` degf(x) ≥ degg(x), # degf(x) i~1S'
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若degf(x)=0,则deg(x)=0,可设f(x)=a0,9(x)=bo,令q(x) b1,r(x)=0即可 作为归纳假设,我们设结论对于小于n次的多项式均成立.现在考虑n次多 项式∫(x)=anxn+an-1x-1+…+a1x+a0.设9(x)=bmm+bm-1xmn-1+ +b1x+b,由于n≥m,令f1(x)=f(x)- anbm n-=mg(x),则degf1(x)deg(s(x)-r(x),矛盾.所以p(x)=q(x),进 而s(x)=r(x).口 注1带余除法式子f(x)=9(x)q(x)+r(x)中,q(x)称为商式,r(x)称为余 式 注2带余除法中degr(x)<deg(x)是重要的,否则不保证唯一性.如f(x) x2+1,g(x)=x+1,则f(x)=9(x)(x-1)+2=9(x)(x+1)-2 注3带余除法与数域扩大无关.事实上,设K,F是两数域,且KCF f(x),g(x)∈K],g(x)≠0.因此f(x),9(x)∈F{].在F上用带余除法,存 在qp(x),rF(x)∈F],使得∫(x)=9(x)qF(x)+rF(x),这里 degrE(x)<degg(x) 另一方面,在K上用带余除法,存在qk(x),Tk(x)∈K],使得∫(x)=9(x)qk(x)+ Tk(x),这里 degre(x)<dego(x).显然,qk(x),Tk(x)∈Fr,因此上式在F上成 立.由(F上)带余除法的唯一性,即得qk(x)=qF(x),rk(x)=rF(x) 推论设∫(x),g(x)∈K{],g(x)≠0,则g(x)f(x)的充分必要条件是g(x)除 f(x)后的余式为0 注整除与数域扩大无关. 例1证明x|f(x)的充要条件是x2f(x)2 证明必要性.因r|f(x),故∫(x)=xq(x),进而f(x)2=r2q(x)2 充分性.反证法.若不然,由带余除法,设∫(x)=xq(x)+r,其中r为非零

℄ degf(x) = 0,  degg(x) = 0, A` f(x) = a0, g(x) = b0, I q(x) = a0b −1 0 , r(x) = 0 6A
q1S8`￾sN`;K# | n %{d?ÆD
yJ n % {d f(x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0. ` g(x) = bmx m + bm−1x m−1 + ... + b1x + b0,  n ≥ m, I f1(x) = f(x) − anb −1 m x n−mg(x),  degf1(x) deg(s(x) − r(x)), L$
l p(x) = q(x), = & s(x) = r(x). 2 2 1 'd f(x) = g(x)q(x) + r(x) ￾ q(x) q^d￾ r(x) q d
2 2 ' degr(x) < degg(x) f￾￾,p}
\ f(x) = x 2 + 1, g(x) = x + 1,  f(x) = g(x)(x − 1) + 2 = g(x)(x + 1) − 2x. 2 3 'i Bu0
eb_￾` K, F fFi ￾W K ⊂ F, f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) 6= 0.  f(x), g(x) ∈ F[x].  F _'￾  qF (x), rF (x) ∈ F[x],  f(x) = g(x)qF (x) + rF (x), C degrF (x) < degg(x). H)O￾ K _'￾ qK(x), rK(x) ∈ K[x],  f(x) = g(x)qK(x)+ rK(x), C degrF (x) < degg(x). xY￾ qK(x), rK(x) ∈ F[x], _d F _Æ D
 (F _) 'p}￾6 qK(x) = qF (x), rK(x) = rF (x). +' ` f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) 6= 0,  g(x)|f(x) + ￾n9f g(x)  f(x) 4dq 0. 2 i Bu0
& 1 P x|f(x) ￾n9f x 2 |f(x) 2 . 1(: ￾}
 x|f(x), / f(x) = xq(x), =& f(x) 2 = x 2 q(x) 2 . +}
('
℄Y￾'￾` f(x) = xq(x) + r, V r q*G 2

常数.则f(x)2=x2q(x2)+r(2rq(x)+r).由设2f(x)2得x2|r(2rq(x)+r2),这 是不可能的.因为r非零,且2xq(x)是常数项为零的多项式,因此r(2rq(x)+r) 是常数项为r2的多项式,不能被x2整除.命题得证.口 例2设f(x)=3x4-4x3+5x-1,g(x)=x2-x+1.求f(x)除以g(x)的商 式和余式 解 3一 05 1 1-11 4311 3-1-4 所以所求商式和余式分别是q(x)=3x2-x-4,r(x)=2x+3 作业:P1s71,2,3,4(可用待定系数法,可用带余除法),6 思考题:Ps75,7

i
 f(x) 2 = x 2 q(x 2 ) + r(2xq(x) + r). ` x 2 |f(x) 2  x 2 |r(2xq(x) + r 2 ),  fAU
q r *G￾W 2xq(x) fi{qG%{d￾ r(2xq(x) + r) fi{q r 2 %{d￾U x 2 
Rm
2 & 2 ` f(x) = 3x 4 − 4x 3 + 5x − 1, g(x) = x 2 − x + 1. X f(x)  g(x) ^ d2d
$: 3 −4 0 5 −1 1 −1 1 3 −3 3 3 −1 −4 −1 −3 5 −1 −1 1 −1 −4 6 −1 −4 4 −4 2 3 llX^d2d+ f q(x) = 3x 2 − x − 4, r(x) = 2x + 3. 
P187 1, 2, 3, 4(A!vi'￾A'), 6; km P187 5, 7 3