《有限单元法初步》PPT教学课件：§2 弹性力学的基本方程 §2.6 虚功方程、结构势能 表达式 §3 平面问题的有限元分析 §3.1 常应变三角形单元

§26虚功方程、结构势能表达式 外力虚功 oW=」J{poh+J,Fyo{al 微元体上外力在虚变形位移上作的虚功 dy dw =o dy S8 dx +o,dx. SE, dy+ dx z,dx.c小y+z·Bx r dx o dE dA+o,,dA+Irda δ{=}{o}l4 sW,=SOpa 虚功方程: SW=Sw. Sa dx ∫@pyb{L+ LFS(d ]dA=Jllk y +B B

dx  x  y dy y y y   +   yx  xy  dy y xy xy   +   dx x yx yx   +   dx x x x   +   dy X Y §2.6 虚功方程、结构势能 表达式 外力虚功           =  + A T L T We  d dL F  d dA     dA T =    dx dx  x dWi = x dy   x dx + y dx   y dy + 微元体上外力在虚变形位移上作的虚功 dy dy  y     xy = +   xydx dy + yxdy  dx = x   x dA+ y   y dA+ xy  xydA W    dA A T i   =      ddL F ddA    dA T A A T L T           + = 虚功方程: We = Wi

§26虚功方程、结构势能表达式 外力势能 Vp=-( abIdAL+FytajdA) 应变能 1=2Je}{4 结构势能: E=V+v

§2.6 虚功方程、结构势能 表达式 外力势能           = −  + A T L T VP ( d dL F d dA) *  应变能 V    dA A T e  =   2 1 EP =VP +Ve * 结构势能:                = −  − A T L T T A dA d dL F d dA    2 1

§3平面问题的有限元分析 53.1常应变三角形单元 离散化 y 水坝 单元编码 结点编码 Kim 整体编码 结点位移编码 单元分析 单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序 pk个(xk,yk) 6={6}单元结点位移向量 (x12y) -----→

§3.1 常应变三角形单元 §3 平面问题的有限元分析 x y 水坝 单元编码 结点编码 结点位移编码 整体编码 一.离散化 二.单元分析 x y ( , ) i i i x y ( , ) j j j x y ( , ) k k k x y 单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序   (i, j, k) v u i i i        = i u i v k u k v j v j u                   = k j i e     单元结点位移向量

(i,j, k) ={}}单元结点力向量 F FbS-F 单元体积力向量 F FJ 单元边界外力向量 二.单元分析 单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序 pk个(xk,yk) 6y={6}}单元结点位移向量 (x12y) -----→

x y ( , ) i i i x y ( , ) j j j x y ( , ) k k k x y i u i v k u k v j v j u 二.单元分析 单元结点编码(局部编码)按逆时针顺序排序   (i, j, k) v u i i i        =                   = k j i e     单元结点位移向量                   = k j i e F F F   (i, j, k) F 单元结点力向量 F F F yi xi i       =         = by bx b F F F Fbx Fby 单元体积力向量         = sy sx s F F F 单元边界外力向量

1.单元位移 其中1x2y 三角形面积 设单元内位移为 2△ u(x,y)=a,+a,x+a3y v(x,y=a+asx+a,y wi vi 在单元结点处有 y k k u(x,y)=u u(x 代入上式,得 u, =a,+axi +ayi C1+x;+ k个k(x,yk) +ax+ 解方程,得 D D D (x12y) -----→

x y ( , ) i i i x y ( , ) j j j x y ( , ) k k k x y i u i v k u k v j v j u 1.单元位移 代入上式,得 v x y x y u x y x y 4 5 6 1 2 3 ( , ) ( , )       = + + = + + Fbx Fby 设单元内位移为 k k k j j j i i i u x y u u x y u u x y u = = = ( , ) ( , ) ( , ) 在单元结点处有 k k k j j j i i i u x y u x y u x y 1 2 3 1 2 3 1 2 3          = + + = + + = + + 解方程,得 D D D D D D 3 3 2 2 1 1  = ; = ; = 其中 = = 2 1 1 1 k k j j i i x y x y x y D 三角形面积 k k k j j j i i i u x y u x y u x y D1 = k k j j i i u y u y u y D 1 1 1 2 = k k j j i i x u x u x u D 1 1 1 3 =

1.单元位移 其中1x2y 三角形面积 设单元内位移为 2△ u(x,y)=a,+a,x+a3y v(x,y=a+asx+a,y wi vi 在单元结点处有 y k k u(x,y)=u u(x 代入上式,得 u, =a,+axi +ayi (a u; +a,u+aur) 整理后,得 2△ C1+x;+ (6, u, +b,u+buk) 2△ u,=a,+ax +a (c u, +C, u+chuk) 2△ 解方程,得 其中 XiV D D D k

1.单元位移 代入上式,得 v x y x y u x y x y 4 5 6 1 2 3 ( , ) ( , )       = + + = + + 设单元内位移为 k k k j j j i i i u x y u u x y u u x y u = = = ( , ) ( , ) ( , ) 在单元结点处有 k k k j j j i i i u x y u x y u x y 1 2 3 1 2 3 1 2 3          = + + = + + = + + 解方程,得 D D D D D D 3 3 2 2 1 1  = ; = ; = 其中 = = 2 1 1 1 k k j j i i x y x y x y D 三角形面积 k k k j j j i i i u x y u x y u x y D1 = k k j j i i u y u y u y D 1 1 1 2 = k k j j i i x u x u x u D 1 1 1 3 = ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 3 2 1 i i j j k k i i j j k k i i j j k k c u c u c u b u b u b u a u a u a u + +  = + +  = + +  =    其中 整理后,得 i k j i j k i j k k j c x x b y y i j k i a x y x y = − = − → → → = − ( )

1.单元位移 u(x, y)=a+a,x+a,y 2△ (a4++a4)+2(b4+b21+b44x+2(Cn+c+c4) 2△ 2△ Nunu.+N 其中N (a+b x+c y 2△ 同理v(x,y)=NV+Nv+Nkvk (a u; +a,u+aur) 整理后,得 2△ (b, u, +b,u +buk) 2△ (c u, +C, u+chuk) 2△ 其中 XiV k

1.单元位移 a u a u a u b u b u b u x c u c u c u y u x y x y i i j j k k i i j j k k i i j j k k ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( , ) 1 2 3 + +  + + +  + + +  = = + + ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 3 2 1 i i j j k k i i j j k k i i j j k k c u c u c u b u b u b u a u a u a u + +  = + +  = + +  =    其中 整理后,得 i k j i j k i j k k j c x x b y y i j k i a x y x y = − = − → → → = − ( ) = Ni ui + N j u j + Nk uk 其中 ( ) ( , , ) 2 1 N a b x c y i j k i i + i + i  = 同理 i i j j k k v(x, y) = N v + N v + N v

1.单元位移 u(x, y)=a+a,x+a,y 21(a2+a+a4)+ (bu +6, u, +b,uk)x+a(cui+cu +C,uk) 2△ 2△ Nunu.+N 其中入_1 (a+ x+c y 2△ 同理w(x,y)=N"+Nv+ NNK 0 NK 0 v o N o N, o Nv k [N]-形函数矩阵N(x,y)-形函数

  e k k j j i i i j k i j k v u v u v u N N N N N N v u d                           =       = 0 0 0 0 0 0 1.单元位移 a u a u a u b u b u b u x c u c u c u y u x y x y i i j j k k i i j j k k i i j j k k ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( , ) 1 2 3 + +  + + +  + + +  = = + + = Ni ui + N j u j + Nk uk 其中 ( ) ( , , ) 2 1 N a b x c y i j k i i + i + i  = 同理 i i j j k k v(x, y) = N v + N v + N v              e k j i i j Nk I N I N I           =       e = N  N ---形函数矩阵 N (x, y) i ---形函数

2.形函数的性质 k 若 则L(x,y)=N(x,y) ①.M(x2)=1;N(x,y)=N(xy)=O4 2. N, (x,y)+N, (x,y)+N(x,y)=1 若 k 则(x,y)=N+N,+N N,0:N0:,0 k [N]-形函数矩阵N(x,y)-形函数

  e k k j j i i i j k i j k v u v u v u N N N N N N v u d                           =       = 0 0 0 0 0 0 2.形函数的性质              e k j i i j Nk I N I N I           =       e = N  N ---形函数矩阵 N (x, y) i ---形函数 若 ui =1;vi = u j = vj = uk = vk = 0 u(x, y) N (x, y) 则 = i i j k =1 i u ①. Ni (xi , yi ) =1;Ni (xj , y j ) = Ni (xk , yk ) = 0 ②. Ni (x, y) + Nj (x, y) + Nk (x, y) =1 若 ui = u j = uk =1 Ni N j Nk 则 u(x, y) = + +

2.形函数的性质 k 若 则L(x,y)=N(x,y) ①.M(x,)=1;N(x,y)=N(x,y)=O41=1 2. N(,y)+N (x, y)+Nk(x,y)=1 D=1 若 k 则(x,y)=N+N,+N u(x, y)=a+a2x+asy ×O D k Vk x y D,=DD=D2=0 l(x,y)=1 由此可知:所设位移可反应单元的刚体位移

2.形函数的性质 若 ui =1;vi = u j = vj = uk = vk = 0 u(x, y) N (x, y) 则 = i i j k =1 i u ①. Ni (xi , yi ) =1;Ni (xj , y j ) = Ni (xk , yk ) = 0 ②. Ni (x, y) + Nj (x, y) + Nk (x, y) =1 若 ui = u j = uk =1 Ni N j Nk 则 u(x, y) = + + u x y x y 1 2 3 ( , ) = + + y D D x D D D D1 2 3 = + + k k j j i i x y x y x y D 1 1 1 = k k k j j j i i i u x y u x y u x y D1 = k k j j i i u y u y u y D 1 1 1 2 = k k j j i i x u x u x u D 1 1 1 3 = D1 = D;D2 = D3 = 0 u(x, y) =1 由此可知:所设位移可反应单元的刚体位移