清华大学：《有限元分析》课程教学资源（PPT课件）第二章 平面问题的有限单元法（2.6-2.8）

2-6单元刚度矩阵 讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系,导出用结 点位移表示结点力的表达式。 由应力推算结点力,需要利用平衡方程。第一章中已经 用虚功方程表示出平衡方程。 (8*)(F)=JJ(e")o)dxdydz (a)结点力、内部应力 (b)虚位移、虚应变

2-6 单元刚度矩阵 讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结 点位移表示结点力的表达式。 由应力推算结点力，需要利用平衡方程。第一章中已经 用虚功方程表示出平衡方程。 δ F ε σdxdydz ( 1 - 17) * T * T = i v i Um Uj Ui m v j v m j * i v i * Um * Uj * Ui * m v * j v m j sy * xy * y * ex ，e ，g xy t sx (a)结点力、内部应力 (b)虚位移、虚应变

2-6单元刚度矩阵 考虑上图三角形单元的实际受力,结点力和内部应力为: 任意虚设位移,结点位移与内部应变为 vuv

2-6 单元刚度矩阵 考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为： 任意虚设位移，结点位移与内部应变为             t s s s = xy y x             g e e e = * xy * y * x *                     = m m j j i i V U V U V U F                     = * m * m * j * j * i * i e * v u v u v u δ

2-6单元刚度矩阵 令实际受力状态在虚设位移上作虚功,外力虚功为 T=uU+.V+.U +vV +uU +"V

2-6 单元刚度矩阵 令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为 m * m m * j m * j j * i j * i i * i T = u U + v V + u U + v V + u U + v V                     = m m j j i i * m * m * j * j * i * i V U V U V U u v u v u v     * eT e = δ F

2-6单元刚度矩阵 计算内力虚功时,从弹性体中截取微小矩形,边长为dx 和dy,厚度为t,图示微小矩形的实际应力和虚设变形。 (a)实际应力 Ao. td τtdx t dx dx ctdx tdx (b)虚设应变 dx -t dx d

2-6 单元刚度矩阵 计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx 和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。 dy dx dx dx dy dy dx dx dx sx tdy dy dy dy tdy sx tdx sy tdx sy tdx xy t tdx xy t tdy xy t tdy xy t dx * x e dy * y e * xy g * xy g (a)实际应力 (b)虚设应变

2-6单元刚度矩阵 微小矩形的内力虚功为 du =(o tdy)x(e dx)+(o tdx)x(e dy)+(T tdx)x(y dy (e*o+εo+yry) teddy 0 tdxd ∫{e*}{ otdxd 整个弹性体的内力虚功为 du ∫{e*}{o} teddy kT

2-6 单元刚度矩阵 微小矩形的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为 U =  dU =  ε σtdxdy * T dU (σtdy) (ε dx) (σtdx) (ε dy) (τ tdx) (γ dy) * x y x y * y y * x x =  +  +  (ε σ ε σ γ τ )tdxdy x y * y x y * x y * = x + +   tdxdy τ σ σ ε ε γ x y y x * x y * y * x           = =  ε σtdxdy * T

2-6单元刚度矩阵 根据虚功原理,得 6)B°= [a')Tlotdxdy 这就是弹性平面问题的虚功方程,实质是外力与应力之 间的平衡方程 虚应变可以由结点虚位移求出 代入虚功方程 6)2B°=6iBf{ lotdxdy F=』( [B](otdxdy

2-6 单元刚度矩阵 根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之 间的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出： 代入虚功方程   F =  e  stdxdy * e T e * T        T Te T * e * T * ε = ( B δ ) = δ [B]   F =    [B] stdxdy T e T e * e T * F = [B] σtdxdy e T

2-6单元刚度矩阵 接上式,将应力用结点位移表示出 o}=[D[B!⑧ 有 FI B][D][B] teddy{6}° N]°=[B[D][B] teddy F}°=K6 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系,[K称 为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵,其元素表示该单元的各结点 沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力,它决定于该单元的 形状、大小、方位和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随 单元或坐标轴的平行移动而改变

2-6 单元刚度矩阵 接上式，将应力用结点位移表示出 有 令 则 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， 称 为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点 沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的 形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随 单元或坐标轴的平行移动而改变。       e σ = D B δ   =    e T e F [B][D][B]tdxdyδ K = [B][D][B]tdxdy e T       e e e F = K δ   e K

2-6单元刚度矩阵 F)=J[B][D][B]tdxdy(8) 由于[D]中元素是常量,而在线性位移模式下,[B]中的 元素也是常量,且dxdy=A 因此 F}°=[B][D][B]tA{8} K=[B][D]B]tA 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元 刚度矩阵

2-6 单元刚度矩阵 由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的 元素也是常量，且 因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元 刚度矩阵。   =    e T e F [B][D][B]tdxdyδ  dxdy = A     e T e F = [B][D][B]tA δ K [B][D][B]tA e T =

2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质 已经求出了下列关系 BtA (3) (3) B (6×3) (3×3) (3×6) S=[ B (3×6) K=[BID[ BtA (6×6)

2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 已经求出了下列关系 s B tAT K [ B] [ D][ B]tA e T =   e   e  e F D B S = [ D][ B] (6) (3) (3) (6╳3) (3╳3) (3╳6) (3╳6) (6╳6)

2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质 结点力和结点位移的关系:(以简单平面桁架为例) 平面问题中,离散化的单元组合体极为相似,单元组合 体在结点载荷的作用下,结点对单元、单元对结点都有作用力 与反作用力存在,大小相等方向相反,统称为结点力 结点力和结点位移的关系前面己经求出 F}=[{6

2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 结点力和结点位移的关系：(以简单平面桁架为例) 平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合 体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力 与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。 结点力和结点位移的关系前面已经求出： A D B P C A P       e e e F = K δ