清华大学：《有限元分析》课程教学资源_习题一

1、什么是有限元法?简述有限元法的基本思想 2、如图1所示,受自重作用的等截面直杆的长度为L,截面积为A,弹性模量 为E,单位长度的重量为q。将受自重作用的等截面直杆划分成3个等长的单元, 将第i单元上作用的分布力作为集中载荷qL加到第计1结点上,试按有限元法 的思路求解 (0,1) LS m(0, 0) (1,0) 图1受自重作用的等截面直杆 图2三结点三角形单元 3、试证明,在三角形单元中的任意一点上,所有形态函数之和等于1。 、三角形单元的结点坐标如图2所示,设单元中一点A的坐标为(0.5,0.2)。 已知三角形三结点单元的i结点位移为(2.0,10),j结点位移为(211),m结点 位移为(2.15,1.05)。1)写出单元的位移函数;2)求A点的位移分量。 5、三角形单元的结点坐标如图2所示,设单元中一点A的坐标为(0.5,02)。 如果A点上作用有集中力P=100P,=100,求结点载荷。 6、如图3所示平面问题,单元(1)(2)在xoy坐标系中,单元的三条边分别平 行,对应边长相等,厚度、材料性质相同。已知单元(1)的单元刚度矩阵, a2 b2 d e k aaaa bbb d4 d es fffff6 d6 求单元(2)的单元刚度矩阵,并说明理由

1、 什么是有限元法？简述有限元法的基本思想。 2、如图 1 所示，受自重作用的等截面直杆的长度为 L，截面积为 A，弹性模量 为 E，单位长度的重量为 q。将受自重作用的等截面直杆划分成 3 个等长的单元， 将第 i 单元上作用的分布力作为集中载荷 qLi 加到第 i+1 结点上，试按有限元法 的思路求解。 图 1 受自重作用的等截面直杆 图 2 三结点三角形单元 3、试证明，在三角形单元中的任意一点上，所有形态函数之和等于 1。 4、三角形单元的结点坐标如图 2 所示，设单元中一点 A 的坐标为（0.5，0.2）。 已知三角形三结点单元的 i 结点位移为（2.0,1.0），j 结点位移为(2.1,1.1)，m 结点 位移为(2.15,1.05)。1）写出单元的位移函数；2）求 A 点的位移分量。 5、三角形单元的结点坐标如图 2 所示，设单元中一点 A 的坐标为（0.5，0.2）。 如果 A 点上作用有集中力 Px = 100,Py = 100 ，求结点载荷。 6、如图 3 所示平面问题，单元（1）（2）在 xoy 坐标系中，单元的三条边分别平 行，对应边长相等，厚度、材料性质相同。已知单元（1）的单元刚度矩阵，                       = 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (1) a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f K 求单元（2）的单元刚度矩阵，并说明理由

7、一平面薄板构件离散为2个单元4个节点,如图4所示。已知单元(1)的编 码顺序为(2,1,3),单元(2)的编码顺序为(3,4,2)。如果单元(1)(2) 的单元刚度矩阵已知,求二维等带宽存储的总刚度矩阵[CS]*(列出求解过程)。 4 (1) 图3平面三角形单元 图4平面薄板构件 8、如何确定整体刚度矩阵K中第r行、第s列元素K[r,s],在二维等带宽存储 的整体刚度矩阵CS]*中的存储位置 图5轴对称三角形单元 9、如图5所示轴对称问题的单元(1)(2)在ROZ坐标系中,单元的三条边分 别平行,对应边长相等,材料性质相同。1)说明单元刚度矩阵是否对称?2)说 明区]=[k]2是否成立? 10、采用等参单元有何优点? l1、证明:如果四边形四结点单元的形状为平行四边形,用等参单元时该单元的 雅可比矩阵为常数矩阵

7、一平面薄板构件离散为 2 个单元 4 个节点，如图 4 所示。已知单元（1）的编 码顺序为（2，1，3），单元（2）的编码顺序为（3，4，2）。如果单元（1）（2） 的单元刚度矩阵已知，求二维等带宽存储的总刚度矩阵[CS]*（列出求解过程）。 图 3 平面三角形单元 图 4 平面薄板构件 8、如何确定整体刚度矩阵 K 中第 r 行、第 s 列元素 K[r,s] ，在二维等带宽存储 的整体刚度矩阵[CS]*中的存储位置。 图 5 轴对称三角形单元 9、如图 5 所示轴对称问题的单元（1）（2）在 ROZ 坐标系中，单元的三条边分 别平行，对应边长相等，材料性质相同。1）说明单元刚度矩阵是否对称？2）说 明     (1) (2) K = K 是否成立？ 10、采用等参单元有何优点？ 11、证明：如果四边形四结点单元的形状为平行四边形，用等参单元时该单元的 雅可比矩阵为常数矩阵