西安电子科技大学：《数学物理方法概论》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 格林函数

第四章格林函数 格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节 将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应 用分析。 事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子 方程)与积分算子之间有着密切的联系，从这个联 系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这 些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方 程，进而得到问题的求解

第四章 格林函数 格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节 将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应 用分析。 事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子 方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联 系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这 些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方 程，进而得到问题的求解

第四章格林函数 1、点源函数法回顾； 2、格林函数的引入； 3、格林函数与δ函数； 4、一维格林函数； 5、三维格林函数； 6、格林函数在电磁学中的应用； 7、并矢格林函数

1、 点源函数法回顾； 2、 格林函数的引入； 3、 格林函数与函数； 4、 一维格林函数； 5、 三维格林函数； 6、 格林函数在电磁学中的应用； 7、 并矢格林函数 第四章 格林函数

§4.1点源函数法回顾 §4格林函数 经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有 广泛的应用。 从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源 等)，根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得 到任意源的场 。 这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函 数法，又称为点源函数法或影响函数法

§4.1 点源函数法回顾 §4 格林函数 经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有 广泛的应用。 从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源 等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得 到任意源的场。 这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函 数法，又称为点源函数法或影响函数法

§4.1点源函数法回顾 §4格林函数 4.1.1格林函数法的回顾 首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产 生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由 于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加， 利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得 到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。 回顾内容包括： 1、点源函数的性质； 2、格林函数的一般求法（电像法）等； 3、格林函数求解边值问题的途径

§4 格林函数 4.1.1 格林函数法的回顾 首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产 生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由 于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加， 利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得 到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。 回顾内容包括： 1、点源函数的性质； 2、格林函数的一般求法（电像法）等； 3、格林函数求解边值问题的途径。 §4.1 点源函数法回顾

§4.1点源函数法回顾 §4格林函数 例如：空间中，静电荷产生的电势问题， Z 电荷源M'电荷密度P 空间M处的电势满足泊松方程： V2u=-2 p,M 实际上：由静电学可知，位于了。点的单位正电荷在处的电势为 G0,ò)= 1 4πe|7-l

§4 格林函数 例如：空间中，静电荷产生的电势问题， M O X Y Z ,M  r 0 r 0 r r − 电荷源 M  电荷密度  空间M处的电势满足泊松方程： 2 u    = − 实际上：由静电学可知，位于 r0 点的单位正电荷在r处的电势为 0 0 1 1 ( , ) 4 | | G r r  r r = − §4.1 点源函数法回顾

§4.1点源函数法回顾 §4格林函数 根据迭加原理，任意电荷分布的电势为： r)-at2r-faw 表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得： 1)找到一个点源在一定边界或初值条件下的场一即格林函 数（或称点源函数，影响函数） 2)根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般 源的场一即通过有限积分表示原问题的解。 格林函数法（点源法）

§4 格林函数 0 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) 4 | | V V r u r dV G r r r dV r r    = = −   表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得： 1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场—即格林函 数（或称点源函数，影响函数） 2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般 源的场—即通过有限积分表示原问题的解。 ——格林函数法（点源法） 根据迭加原理，任意电荷分布的电势为： §4.1 点源函数法回顾

§4.1点源函数法回顾 §4格林函数 从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是： 1)直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界 条件的局限) 2)通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示， 物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题； 3)且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算 出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换 为关键是求解点源的相对简单的问题

§4 格林函数 从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界 条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示， 物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题； 3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算 出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换 为关键是求解点源的相对简单的问题。 §4.1 点源函数法回顾

§4.1点源函数法回顾 §4格林函数 4.1.26函数 一、 函数的引入 1、物理背景 x ①)金属线段 则密度：p(x)=lim 0x≠0 1x=0 px)本=1 -00 总质量m=1,集中在x=0处

§4 格林函数 4.1.2  函数 §4.1 点源函数法回顾

§4.1点源函数法回顾 §4格林函数 0 x≠0 2、定义 x=0 δ函数 「oxak=l 00 更普遍的定义为 1se-)- x≠X0 )x=x0 一般： j6(x-x)k=1

§4 格林函数 0 0 ( ) 0 x x x    =    =  ( ) 1 x dx  − =  2、定义 ——  函数 更普遍的定义为 §4.1 点源函数法回顾

§4.1点源函数法回顾 §4格林函数 结合上面实例δ-密度函数 若在x=xo点放有m质量，总质量m 则p(x)=mδ(x-xo) 同样若在x=x,放有电量9的点电荷， 其总电量为q,则P(x)=qδ(x-x) 二、性质 设f(x)在(-∞，0)连续，则 1、 ∫fx6x-ok=fx) fx)δ(x)=f0)

§4.1 点源函数法回顾 §4 格林函数