中国科学技术大学：《电磁场理论 Electromagnetic Theory》课程教学资源（课件讲稿）第3章 静电场边值问题的求解方法

第三章静电场边 值问题的求解方法 场的分析方法回顾：直接积分法： 高斯定理（+迭加原理)。 本章：在给定边界条件下求解泊松方程。 本章目录： §3.1唯一性定理 §3.2镜像法 §3.3解析函数法 §3.4分离变量法 §3.5格林函数法

第三章 静电场边 值问题的求解方法 §3.1 唯一性定理 §3.2 镜像法 §3.3 解析函数法 §3.4 分离变量法 §3.5 格林函数法 本章目录： 场的分析方法回顾：直接积分法； 高斯定理（+迭加原理）。 本章：在给定边界条件下求解泊松方程

边值问题 微分方程 边界条件 场域 介质交界处 自然 边界条件 边界条件 边界条件 V2o=0 01=p2 参考点电位 00-n 02二P到 limro= 有限 On 值 第一类 第二类 第三类 边界条件 边界条件 边界条件 已知场域边界 已知场域边界 、二 类边 上各点电位值 上各点电位 界条件的线 的法向导数 性组合，即 Ps=f(s) 00 =3(s) =f(s)

自然 边界条件 参考点电位 有限 值   r r lim 边值问题 微分方程 边界条件 场域 边界条件 介质交界处 边界条件 第一类 边界条件 第二类 边界条件 第三类 边界条件 已知场域边界 上各点电位 的法向导数 一、二类边 界条件的线 性组合，即 0 2 2          1 2 1 2 1 2 sf n n               f (s) n 2 S    ( ) f (s) n 3 S        已知场域边界 上各点电位值 f (s)  S  1

镜像法 保角变换法 解析法 分离变量法 格林函数法 ●●●● 计算法 有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法 边值问题 研究方法 模拟电荷法 实测法 实验法 模拟法 数学模拟法 物理模拟法 定性 作图法 ●●●● 定量

边值问题 研究方法 计算法 实验法 作图法 解析法 数值法 实测法 模拟法 定性 定量 镜像法 分离变量法 格林函数法 保角变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法 数学模拟法 物理模拟法            

§3.1唯一性定理 设自由电荷分布在有限区域，介质线性各向同性分 区均匀。若 ①给定求解域内的自由电荷体密度和介质交界处 的自由电荷面密度以及介质的介电常数； 2 给定求解区域边界上电位的值或其法向导数值 (无限远处：0~r1) 在介质交界处满足： 0j Pi=Pi, 01一8j 8i on 二Dsf 介质i 介质j 则泊松方程的解唯一，最多相差一任意常数。如在 (部分)边界上给定电位值，则解唯一

§3.1 唯一性定理 设自由电荷分布在有限区域，介质线性各向同性分 区均匀。若 ① 给定求解域内的自由电荷体密度和介质交界处 的自由电荷面密度以及介质的介电常数； ② 给定求解区域边界上电位的值或其法向导数值 （无限远处： ～r -1） ③ 在介质交界处满足：  i   j， sf j j i i n n            则泊松方程的解唯一，最多相差一任意常数。如在 （部分）边界上给定电位值，则解唯一。 介质 i 介质 j nˆ i  j 

§3.1唯一性定理 【证】： V2p:=-pn/8: 设有二组不同的解：p，p2 令p,=p0-p,2， 则φ满足齐次方程和齐次边界条件。 标量格林第一定理： v+(wo(wyaw=j.p0as 令p=p,Ψ=01 zReg+6awgir-2ce8g5 川 0 0

【证】： i fi i   /  2    设有二组不同的解： (1)  i ， (2)  i 令 (1) (2)  i   i  i  ， 则   i 满足齐次方程和齐次边界条件。 标量格林第一定理：           V S dS n dV  [  ( ) (  )]  2 令      ,                     i S i i i i i V i i i i i i dS n dV i  [(    (  ) (  )]   2 §3.1 唯一性定理 0 0

§31唯一性定理 8,>0→vp=0→g=CC 电位连续，C与无关。 p,=p2)+C 若在边界某处给定电位值，则C=0 意义： ■指出了解唯一的条件； ■给求解方法提供了自由度（只需找到一个解 满足方程及边界条件即可)

i    i   i  Ci  C    0  0  2 意义： 指出了解唯一的条件； 给求解方法提供了自由度（只需找到一个解 满足方程及边界条件即可）。 电位连续，C与i无关。 i  i  C (1) (2)   若在边界某处给定电位值，则 C=0 §3.1 唯一性定理

可判断静电场问题的解的正确性： 例 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？ A、01= d B、02= x+Uo d 答案：(C) C、03=- Uox+Uo d 唯一性定理为静电场问题 的多种解法（试探解、数值解、解 平板电容器 析解等)提供了思路及理论根据。 外加电源Uo

 可判断静电场问题的解的正确性： 例 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？ 0 0 3 0 0 2 0 2 1 x U d U C x U d U B x d U A          、 、 、 答案：（ C ）  唯一性定理为静电场问题 的多种解法(试探解、数值解、解 平板电容器 析解等）提供了思路及理论根据。 外加电源U0

§3.2镜像法 一j 种尝试方法。 数学基础：唯一性定理。 物理基础： 等效思想。利用反问题或逆问题 答案的不唯一性。 因果关系： 例：等效电阻。 求解区域外包括边界上的电荷分布对求解区 域内场的贡献： 例：点电荷，球对称分布电荷

§3.2 镜像法 一种尝试方法。 数学基础： 唯一性定理。 物理基础： 等效思想。利用反问题或逆问题 答案的不唯一性。 因果关系： 例：等效电阻。 求解区域外包括边界上的电荷分布对求解区 域内场的贡献： 例：点电荷，球对称分布电荷

§3.2镜像法 求解区域外包括边界上的电荷分布对求解区域 内场的贡献可用场在求解区域边界上行为来代 替或规定： 例：泊松方程的形式解 {6aC-品}aw 例：边界条件，给定电位值或其法向导数值， 对方程的通解进行选择。“滤波器”！

§3.2 镜像法 求解区域外包括边界上的电荷分布对求解区域 内场的贡献可用场在求解区域边界上行为来代 替或规定： 例：泊松方程的形式解                             S V dS n R r n r R dV R r r 1 ( ) 1 ( ) 4 1 ( ) 4 1 ( ) 0           例：边界条件，给定电位值或其法向导数值， 对方程的通解进行选择。“滤波器”！

§3.2镜像法 镜像法： ☑对求解区域内具有相同贡献或其产生的场与求 解区域内电荷分布产生的场迭加能满足边界条件 的求解区域外及边界上的电荷分布是不唯一的， 有无数种可能的分布。 ☑镜像法尝试从上述分布中寻找一种简单、便于 计算的分布，替代原始问题中的实际分布。 ☑上述做法是否可行？通过能否满足边界条件进 行检验！

§3.2 镜像法 镜像法：  对求解区域内具有相同贡献或其产生的场与求 解区域内电荷分布产生的场迭加能满足边界条件 的求解区域外及边界上的电荷分布是不唯一的， 有无数种可能的分布。 镜像法尝试从上述分布中寻找一种简单、便于 计算的分布，替代原始问题中的实际分布。 上述做法是否可行？通过能否满足边界条件进 行检验！