中国科学技术大学：《电磁场理论 Electromagnetic Theory》课程教学资源（课件讲稿）第1章 矢量分析（即数学中的“场论”）

第一章矢量分析 即数学中的“场论” 主要内容： S1.1基本概念 §1.2无旋场、无散场及矢量场的分解 §1.37算子的运算 S1.4积分定理 §1.56函数

第 章一 矢量分析 即数学中的“场论” 主要内容： §1.1 基本概念 §1.2 无旋场、无散场及矢量场的分解 §1 3. 算子的运算 §1.4 积分定理 §1.5 δ 函数

§1.1基本概念 场的定义： 一个物理量或数学量在空间的分布称为该物理量或数 学量的场。即：若对空间某一区域内的任意点，都有 某个物理量或数学量的一个确定值与之对应，则称该 区域内确定了该物理量或数学量的一个场。 数学上，场《函数（自变量为空间坐标) 标量场(Scalar Field) 场 矢量场(Vector Field) 备注：场可随时间变化，但数学中的场论仅研 究其随空间的变化

§1.1 基本概念 场的定义： 一个物理量或数学量在空间的分布称为该物理量或数 学量的场。即：若 某 域内的任意点 若对空间某一区域内的任意点，都有 某个物理量或数学量的一个确定值与之对应，则称该 区域内确定了该物理量或数学量的 个场 区域内确定了该物理量或数学量的一个场。 数学上，场 函数（自变量为空间坐标 自变量为空间坐标） 场 标量场（Scalar Field） 矢量场（Vector Field） 备注：场可随时间变化，但数学中的场论仅研 究其随空间的变化

§1.1基本概念 电力线 等位线 电偶极子的静电场 水流流速场

§1.1 基本概念 等位线 电力线 电偶极子的静电场 水流流速场

§1.1基本概念 标量场p()=p(x,y,z) 方向导数：标量场0()在某 点沿某一方向的方向导 数定义为该场在该点沿该方 向对空间距离的变化率。 ∂0 Lim p(行+△C)-p(F) al △0→0 △U 0 cosa 8x op cosB+ 8y osy 8z 其中， c0S0、 cosB及cosy为)的方向余 弦，即C=(cosa,cosB,cosY)

§1.1 基本概念 一 、标量场(r) (x, y, z)  、标量场(r) (x, y, z) z 方向导数：标量场 (r)   在某 点 沿某 方向 ˆ 的方向导 z r  点 r沿某一方向 的方向导 数定义为该场在该点沿该方 o  ( ) ( ) Lim r    r       向对空间距离的变化率。 o x y       cos cos cos Lim 0            cos cos cos x y z      其中，cosα、cosβ及cosγ为ˆ 的方向余 弦，即  (cos , cos , cos )  ˆ    

§1.1基本概念 梯度：标量场在某点的梯度为一矢量。 其大小等于该点所有方向导数的最大 值，其方向为取得该最大值的方向。 -gadp.t-与i的夹角 其中，grado即为梯度： grado ∂x gradient Nabla或Hamilton算子，读作“del

§1.1 基本概念 标量场在某点的梯度为一矢量 §1.1 基本概念 梯 度：标量场在某点的梯度为 矢量。 其大小等于该点所有方向导数的最大 梯 度： 值，其方向为取得该最大值的方向。 ) d ˆ d ( d ˆ  与的夹角  grad  grad cos(grad 与的夹角)          其中 d 即为梯度          d ˆ ˆ ˆ 其中，grad 即为梯度：              z z y y x x grad ˆ ˆ ˆ gradient Nabla或Hamilton算子, 读作“del

标量场梯度的性质 (1)标量场沿任一方向的方向导数等于梯度在 该方向的投影。 0g-grado.l-Vo. (2)标量场在任一点 n=gradu 的梯度垂直于过该点的 过M点的 切平面 等值面，且指向场增大 的一方。（备注：等值 过M点的 面的法向有两个) 等值面 (,y,2=C 等值面：p()=常数

标量场梯度的性质 （ 1 ）标量场沿任 方向的方向导数等于梯度在 一方向的方向导数等于梯度在 该方向的投影。     grad ˆ ˆ           （ 2 ）标量场在任 点 标量场在任 一 点 的梯度垂直于过该点的 等值面，且指向场增大 的 方一 方。（备注 ：等值 面的法向有两个） 等值面： ( r )  常数  

标量场梯度的性质 (3)一个标量场的梯度确定，则该标量场 也随之确定，最多相差一个任意常数。 对场的描述 标量场 其梯度场 对一个标量场，可直接研究该标量场， 亦可研究其梯度场： 对一个矢量场，若其可表为一个标量场 的梯度，则通常研究此标量场较为方便

标量场梯度的性质 （ 3 ） 一个标量场的梯度确定 ，则该标量场 也随之确定，最多相差一个任意常数。 对场的描述 标量场 其梯度 场 对一个标量场，可直接研究该标量场， 亦可研究其梯度场 ； 对一个矢量场，若其可表为一个标量场 的梯度 ，则通常研究此标量场较为方便

§1.1基本概念 二、矢量场A(T)=A(x,y,z) 1、矢量场的矢量线表示 矢量线是这样一些曲线： 线上任意一点的切线方向 代表该点的矢量场的方向， 矢量线的密度表示该点场 的大小，即垂直于矢量的 克·3 单位表面所穿过的矢量线 0电-1 个数代表该矢量的大小

§1.1 基本概念 二 矢量场 基本概念 A(r) A(x y z)    二、矢量场  1、矢量场的矢量线表示 A(r)  A(x, y, z) 1、矢量场的矢量线表示 矢量线是这样一些曲线： 线上任意 点的切线方向 一点的切线方向 代表该点的矢量场的方向， 矢量线的密度表示该点场 的大小，即垂直于矢量的 单位表面所穿过的矢量线 个数代表该矢量的大小

2、矢量场的通量和散度 ①通量 Φ=JiS=∫aiaS A(x,y,) 可见，通量为一代数量。 其正负与矢量场方向和面 积元法线的夹角有关。矢 面积元矢量 量场在曲面S上的通量可 看作穿过S面的（净）矢 量线数目

2、矢 场的 和散度 量场的通量和散度 ① 通量 A(, ,) xyz      A dS  A nˆdS    可见 通量为 代数量 n ˆ    S S A dS A ndS 可见，通量为一代数量。 其正负与矢量场方向和面 S  d 积元法线的夹角有关。矢 矢 量场在曲面S上的通量可 面积元矢量 场 面 看作穿过S面的（净）矢 量线数目

2、矢量场的通量和散度 例：水流流速场及其通量。 ↑ 米/秒 流量，立方米/秒 如果S是一闭合曲面，若 A 无特别交代，则约定S的 法向量由闭合曲面内指向 闭合曲面外，即为外法向。 Φ=fA.as=A.nds S

2、矢 场的 和散度 量场的通量和散度 例：水流流速场及其通量。 米/秒 流量，立方米/秒  如果S是一闭合曲面，若 无特别交代，则约定S的 A  无特别交代，则约定S的 法向量由闭合曲面内指向 闭合曲面外，即为外法向。 n ˆ     A dS  A nˆdS           S S A dS A ndS