中国科学技术大学：《光学》课程教学资源（教案讲义）第一章 几何光学的近轴理论

崔宏滨光学 章几何光学的近轴理论 第一章几何光学的近轴理论 几何光学是研究光在不同媒质的界面处反射、折射的问题,目的 是处理光的成像,是一种唯象的理论。它不涉及光的物理本质,而只 是把光的现象用“光线”这一非常简单的模型来处理,研究光线的反 射、折射以及沿直线的传播。 由于不涉及光的波动性和量子性,所以,在几何光学的领域,是 无法定义诸如“波长”、“光速”等物理概念的,而且,这些概念看起 来也是不必要的。但是,有些问题虽然是波动光学或量子光学的研究 对象,却是几何光学所无法回避的。例如,几何光学不可避免地要面 对色散的问题,这时,人们仅仅是借用一下波长的名称,或者说不同 颜色的光具有不同的折射率就可以很好地处理这一问题。 §11几何光学的基本概念 几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的 理论 “物体所发出的光”,不是仅仅局限于那些自身可以发光的物体,有大量的物体,自身 是不发光的,它们受到了其他光源的照明,而显示出自身的轮廓。由于几何光学处理的都是 可见光的问题,所以我们可以这样说,凡是人眼可见的物体,都是几何光学中所谓“发光” 的物体 人眼是一种光学仪器,物体所发的光经眼球后,在视网膜上成像,这就是人眼“看见” 物体的过程。 二.几何光学中光的物理模型 光线:任意一点可以向任一方向发出直线,或者说射线,称为光线。光的直线传播、反 射和折射都可以用直线段及其方向的改变表示

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 第一章 几何光学的近轴理论 几何光学是研究光在不同媒质的界面处反射、折射的问题，目的 是处理光的成像，是一种唯象的理论。它不涉及光的物理本质，而只 是把光的现象用“光线”这一非常简单的模型来处理，研究光线的反 射、折射以及沿直线的传播。 由于不涉及光的波动性和量子性，所以，在几何光学的领域，是 无法定义诸如“波长”、“光速”等物理概念的，而且，这些概念看起 来也是不必要的。但是，有些问题虽然是波动光学或量子光学的研究 对象，却是几何光学所无法回避的。例如，几何光学不可避免地要面 对色散的问题，这时，人们仅仅是借用一下波长的名称，或者说不同 颜色的光具有不同的折射率就可以很好地处理这一问题。 §1.1 几何光学的基本概念 一．几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的 理论 “物体所发出的光”，不是仅仅局限于那些自身可以发光的物体，有大量的物体，自身 是不发光的，它们受到了其他光源的照明，而显示出自身的轮廓。由于几何光学处理的都是 可见光的问题，所以我们可以这样说，凡是人眼可见的物体，都是几何光学中所谓“发光” 的物体。 人眼是一种光学仪器，物体所发的光经眼球后，在视网膜上成像，这就是人眼“看见” 物体的过程。 二．几何光学中光的物理模型 光线：任意一点可以向任一方向发出直线，或者说射线，称为光线。光的直线传播、反 射和折射都可以用直线段及其方向的改变表示。 1

崔宏滨光学 章几何光学的近轴理论 对于光线,由于是几何学上的概念,是无法从物理上定义其速度的 三.几何光学的实验定律 1.光的直线传播定律 在均匀媒质中,光沿直线传播。 在均匀媒质的空间中有P、Q两点,如果P点有一光源,则在Q点可以看到其发出的光 由于从P到Q有无数条路径,那么,P点的光是沿什么样的路径到达Q点的?可以用 简单的实验来研究。用一个不透光的挡板,放在P、Q间的任一处,将会发现,只有挡板处 在连接上述两点的直线上时,才能遮住P点发出的光,所以,可以得到结论:光是沿直线传 到Q点的,即:在均匀媒质中,光是沿直线传播的。 2.光的反射定律 板 观察者(接收器) 物 平面镜 点发出光,经平面镜M反射后到达Q点。那么,光是沿哪一条路径到达Q点的? 在Q点的观察者看来,光是从P点发出的,而P点正好处于与P点关于反射镜平面的对称 位置。由于已经证明了光在均匀媒质中的直线传播定律,所以用一条直线连接P点和Q点, 该直线于反射镜平面的交点为M,即到达Q点的光一定经过M点。或者说从P点发出的光 是在反射镜面上的M点被反射然后到达Q点的。从几何关系上可以立刻得到:P、P、M、 Q诸点在同一平面内,而且光线的反射角0与入射角θ是相等的。 光的反射定律可以表述如下

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 对于光线，由于是几何学上的概念，是无法从物理上定义其速度的。 三．几何光学的实验定律 1． 光的直线传播定律 在均匀媒质中，光沿直线传播。 在均匀媒质的空间中有 P、Q 两点，如果 P 点有一光源，则在 Q 点可以看到其发出的光， 由于从 P 到 Q 有无数条路径，那么，P 点的光是沿什么样的路径到达 Q 点的？可以用一个 简单的实验来研究。用一个不透光的挡板，放在 P、Q 间的任一处，将会发现，只有挡板处 在连接上述两点的直线上时，才能遮住 P 点发出的光，所以，可以得到结论：光是沿直线传 到 Q 点的，即：在均匀媒质中，光是沿直线传播的。 2． 光的反射定律 P 点发出光，经平面镜 M 反射后到达 Q 点。那么，光是沿哪一条路径到达 Q 点的？ 在 Q 点的观察者看来，光是从 P’点发出的，而 P’点正好处于与 P 点关于反射镜平面的对称 位置。由于已经证明了光在均匀媒质中的直线传播定律，所以用一条直线连接 P’点和 Q 点， 该直线于反射镜平面的交点为 M，即到达 Q 点的光一定经过 M 点。或者说从 P 点发出的光 是在反射镜面上的 M 点被反射然后到达 Q 点的。从几何关系上可以立刻得到：P、P’、M、 Q 诸点在同一平面内，而且光线的反射角θ’与入射角θ是相等的。 光的反射定律可以表述如下： P Q θ θ’ M P P’ Q 挡板 观察者（接收器） 物 平面镜 2

崔宏滨光学 几何光学的近轴理论 入射面↑n 界面Σ 光线1入射到平面∑上的O点,反射光为1 O点处的法线为n,由1和n构成的平面∏为入射面,1和1与法线n的夹角分别为i和 i’。则反射光线1在入射面内,而且t=i 3.光的折射定律 观察者Q sini,/ sin 只与两种介质有关 介质1 分界面 介质2 像P 物P 物(光源)和观察者分别处在不同的媒质中,两种媒质有分界面。在媒质1中的观察者 Q看来,光源是处在另一点P(像点),而不是其实际位置P点。说明光在传播过程中发生 了偏折。由于光在均匀媒质中是沿直线传播的,所以发生偏折的位置只能在两种媒质的分界 面上。直线PQ与界面交点为O,光线在O点发生折射。如果定义折射角,则实验表明 sini1/sini2的数值只与两种媒质有关。如果用折射率表征媒质的这种特性,并记为n,则 有sin1/sini2=n2/m1。可以知道,仅仅从这一比例式是无法确定折射率的数值的。所以 规定真空的折射率的数值为1,则其它媒质的折射率可以参照真空获得

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 光线 1 入射到平面Σ 上的 O 点，反射光为 1’。 O 点处的法线为 n ，由 1 和n 构成的平面 G G Π 为入射面，1 和 1’与法线n G 的夹角分别为i 和 i′。则反射光线 1’在入射面内，而且i′ = i 。 3． 光的折射定律 物（光源）和观察者分别处在不同的媒质中，两种媒质有分界面。在媒质 1 中的观察者 Q 看来，光源是处在另一点 P’（像点），而不是其实际位置 P 点。说明光在传播过程中发生 了偏折。由于光在均匀媒质中是沿直线传播的，所以发生偏折的位置只能在两种媒质的分界 面上。直线 P’Q 与界面交点为 O，光线在 O 点发生折射。如果定义折射角，则实验表明 的数值只与两种媒质有关。如果用折射率表征媒质的这种特性，并记为 ，则 有 。可以知道，仅仅从这一比例式是无法确定折射率的数值的。所以 规定真空的折射率的数值为 1，则其它媒质的折射率可以参照真空获得。 1 2 sin i /sin i n 1 2 2 1 sin i /sin i = n / n i′ 界面Σ i′ = i i n G 入射面Π 观察者 Q O 介质2 介质1 分界面 物P 像P’ 1 i 2i 1 2 sin i /sin i 只与两种介质有关 3

崔宏滨光学 几何光学的近轴理论 入射面 界面 ∑为两种媒质的分界面。光线1由介质1入射到介质2中,发生折射,沿2方向传 播。入射角和折射角分别为1和2 则折射光2在入射面∏内,且有n1sini1=n2sini2,n1和n2分别为两种媒质的折 射率。此为 Snell定律(1621年) 4.光路可逆原理 在反射和入射定律中,光线如果沿反射和折射方向入射时,则相应的反射和折射光将沿 原来的入射光的方向。即光路是可逆的 如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q点成像,则Q点发出的光线经同一系统后必 然会在Q点成像。即物像之间是共轭的

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 2i 1 i 1 i′ 入射面 界面 n G 为两种媒质的分界面。光线 1 由介质 1 入射到介质 2 中，发生折射，沿 2 方向传 播。入射角和折射角分别为 和 。 Σ 1 i 2i 则折射光 2 在入射面Π 内，且有 1 1 2 2 n sin i = n sin i ， 和 分别为两种媒质的折 射率。此为 Snell 定律（1621 年） 1 n 2 n 4． 光路可逆原理 在反射和入射定律中，光线如果沿反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿 原来的入射光的方向。即光路是可逆的。 如果物点 Q 发出的光线经光学系统后在 Q’点成像，则 Q’点发出的光线经同一系统后必 然会在 Q 点成像。即物像之间是共轭的。 4

崔宏滨光学 几何光学的近轴理论 Q 光的直线传播、反射和折射定律是几何光学的三大实验定律,它们构成了几何光学的基 础。从上面的讨论可以看出,只要引入了光线的物理模型,上述定律便能够得到严格的检验 和描述。 四. Fermat原理 上述关于几何光学的定律是实验的结果,人们试图找出它们的内在联系、并用一个更基 本的规律来概括和描述它们。正如我们前面指出的那样,由于几何光学不涉及光的物理本质, 所以无法从最基本的物理模型推导出上述定律。但是,从一个更加广义数学原理对它们进行 概括还是可行的。这就是费马原理。费马首先引入了光程的概念 光程:折射率×光所经过的路程,即nS,n:折射率,或光学常数;S:沿光的路径 的距离。 2.费马( Fermat)原理:两点间光的实际路径, 是光程平稳的路径。(1679年) 平稳:极值(极大、极小)或恒定值。 在数学上,用变分表示为 6(PP2)=6[∫n1=0 原理,不是建立在实验基础上的定律,也不是从 数学上导出的定理,而是一个最基本的假设,是一切理论的出发点。一切定理和定律都建立 在它的基础之上,即原理是一切理论体系的出发点。 Fermat原理不是定理,也不是定律,它 是最基本的假设。 3.由 Fermat原理导出几何光学的实验定律 (1)光的直线传播定律 在均匀媒质中,两点间光程最短的路径是直线 (2)光的反射定律

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 Q Q’ 光的直线传播、反射和折射定律是几何光学的三大实验定律，它们构成了几何光学的基 础。从上面的讨论可以看出，只要引入了光线的物理模型，上述定律便能够得到严格的检验 和描述。 四．Fermat 原理 上述关于几何光学的定律是实验的结果，人们试图找出它们的内在联系、并用一个更基 本的规律来概括和描述它们。正如我们前面指出的那样，由于几何光学不涉及光的物理本质， 所以无法从最基本的物理模型推导出上述定律。但是，从一个更加广义数学原理对它们进行 概括还是可行的。这就是费马原理。费马首先引入了光程的概念。 1．光程：折射率×光所经过的路程，即 nS，n：折射率，或光学常数；S：沿光的路径 的距离。 2．费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径， 是光程平稳的路径。（1679 年） 平稳：极值（极大、极小）或恒定值。 在数学上，用变分表示为 ( ) [ ] 0 2 1 1 2 = = ∫ P P δ P P δ nds 原理，不是建立在实验基础上的定律，也不是从 数学上导出的定理，而是一个最基本的假设，是一切理论的出发点。一切定理和定律都建立 在它的基础之上，即原理是一切理论体系的出发点。Fermat 原理不是定理，也不是定律， 它 是最基本的假设。 3．由 Fermat 原理导出几何光学的实验定律 （1） 光的直线传播定律 在均匀媒质中，两点间光程最短的路径是直线。 （2） 光的反射定律 P Q 5

崔宏滨光学 章几何光学的近轴理论 Q,P两点在反射面∑的同一侧 Q入射面n P是P点关于Σ面的对称点。P,Q,O三点确定平面∏。直线QP与反射面交于O点。 则易知QO+OP为光程最短的路径。 (3)光的折射定律 Q、P分别在介质1和介质2中,分界面为∑。 从Q、P两点分别向∑面做垂线,垂足为Q和P,则平行线QQ和PP可以确定一个平面 ∏。在∏上,O为两平面交线QP外任一点,从O向QP做垂线,垂足为O。则由Q到P 的路径中,过O点的总比过O点的要大。即实际路径一定在平面∏中。 光程(QOP)=nQO+n2OP=mnVn2+x2+n2h2+(p-x)2 取微商,4(C0=-nx--n(P=3)==n1smn1-nsim2=0 P 即得折射定律 4.物像之间的等光程性 由 Fermat原理,物点Q与像点Q之间的光程总是平稳的,即不管光线经何路径,凡是Q通 过同样的光学系统到达Q的光线,都是等光程的。 五.几何光学定律成立的条件 1.光学系统的尺度远大于光波的波长。 介质是均匀和各向同性的 3.光强不是很大

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 Q，P 两点在反射面Σ 的同一侧。 P ‘ 是P点关于Σ 面的对称点。P，Q，O’ 三点确定平面Π 。直线QP‘ 与反射面交于O点。 则易知QO+OP为光程最短的路径。 （3） 光的折射定律 Q、P 分别在介质 1 和介质 2 中，分界面为Σ 。 从Q、P两点分别向Σ 面做垂线，垂足为Q‘ 和P’ ，则平行线QQ‘ 和PP’ 可以确定一个平面 Π 。在Π 上，O‘ 为两平面交线Q’ P‘ 外任一点，从O’ 向Q’ P‘ 做垂线，垂足为O。则由Q到P 的路径中，过O‘ 点的总比过O点的要大。即实际路径一定在平面Π 中。 光程(QOP) = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 n QO + n OP = n h + x + n h + ( p − x) 取微商， sin sin 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 = − = + − − − + = n i n i h p x n p x h x n x dx d QOP 。 即得折射定律。 4． 物像之间的等光程性 由Fermat原理，物点Q与像点Q‘之间的光程总是平稳的，即不管光线经何路径，凡是Q通 过同样的光学系统到达Q’ 的光线，都是等光程的。 五．几何光学定律成立的条件 1． 光学系统的尺度远大于光波的波长。 2． 介质是均匀和各向同性的。 3． 光强不是很大。 6

崔宏滨光学 章几何光学的近轴理论 §12近轴光在单球面上的成像 物与像的虚实性 1.同心光束 从同一点发出的或汇聚到同一点的光线,称为同心光束 物和像都是有一系列的点构成的,物点和像点一一对应,于是就得到了对应的物像。从 光线的性质看,物上的每一点都发出同心光束,而对应的像点都由同心光束会聚得到,所以 成像的最基本条件是要满足同心光束的不变性。当然,这仅仅是对点成像的要求。从整个物 和像的对应关系看,还必须要满足物像间的相似性,即空间上各个点之间的相互位置要 对应,同时每一对物像点的颜色,即光的波长要一一对应,这就要求成像的光学系统不产生 畸变,没有像差、色差等等。 2.光具组:一系列的成像光学器具,从对光线的作用看,它们是由若干反射面或折射面组 成的光学系统 光轴:光具组的对称轴 3.实物与虚物,实像与虚像 发出同心光束的物点,为实物点;物方同心光束延长后汇聚所成的点,为虚物点

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 §1.2 近轴光在单球面上的成像 一．物与像的虚实性 1． 同心光束 从同一点发出的或汇聚到同一点的光线，称为同心光束。 物和像都是有一系列的点构成的，物点和像点一一对应，于是就得到了对应的物像。从 光线的性质看，物上的每一点都发出同心光束，而对应的像点都由同心光束会聚得到，所以 成像的最基本条件是要满足同心光束的不变性。当然，这仅仅是对点成像的要求。从整个物 和像的对应关系看，还必须要满足物像间的相似性，即空间上各个点之间的相互位置要一一 对应，同时每一对物像点的颜色，即光的波长要一一对应，这就要求成像的光学系统不产生 畸变，没有像差、色差等等。 2． 光具组：一系列的成像光学器具，从对光线的作用看，它们是由若干反射面或折射面组 成的光学系统。 光轴：光具组的对称轴。 3． 实物与虚物，实像与虚像 发出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。 7

崔宏滨光学 几何光学的近轴理论 同心光束汇聚在像方形成的点,为实像点:像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点, 为虚像点。 实物成实像 实物成虚像 虚物成实像 虚物成虚像 4.物方和像方 物点所在的空间为物方空间

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 同心光束汇聚在像方形成的点，为实像点；像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点， 为虚像点。 实物成实像 实物成虚像 虚物成实像 虚物成虚像 4.物方和像方 物点所在的空间为物方空间。 8

崔宏滨光学 章几何光学的近轴理论 像点所在的空间为像方空间 5.理想光具组 使同心光束保持其同心性不变的光具组。 理想光具组是成像的必要条件。 二.近轴光在单球面上的成像 1.轴上物点成像 在△OMC和AOMC中,有折射定律和以下几何关系 niNi=n sin (1) 正弦定理 p S+rr (2) (3) SIn ut 余弦定理p2=(s+r)2+r2-2r(s+r)cosφ(4) p2=(s'-r)2+r2+2r(s-r)cosp(5) 由(1)(2)(3)可得 SIn q sin (6) n(s+r) nini n'sini n(s-r) (4)(5)分别化为 p-=s-+2rs+r+r-2r(s+r)cos=S-+2r(s+r)-2r(s+r)cos

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 像点所在的空间为像方空间。 5.理想光具组 使同心光束保持其同心性不变的光具组。 理想光具组是成像的必要条件。 二．近轴光在单球面上的成像 1． 轴上物点成像 在 ∆QMC 和 ∆Q′MC 中，有折射定律和以下几何关系 nsin i = n′sin i′ （1） 正弦定理 u r i p s r sin sin sin = + = φ （2） u r i p s r ′ = ′ ′ − = ′ sinφ sin sin （3） 余弦定理 ( ) 2 ( ) cosφ （4） 2 2 2 p = s + r + r − r s + r （5） 由（1）（2）（3）可得 ( ) 2 ( ) cosφ 2 2 2 p′ = s′ − r + r + r s′ − r sin ( ) sin sin sin ( ) n s r p n s r n i n i p ′ − ′ = ′ ′ = = + φ φ （6） （4）（5）分别化为 2 2 ( ) cosφ 2 ( ) 2 ( ) cosφ 2 2 2 2 2 p = s + rs + r + r − r s + r = s + r s + r − r s + r 9

崔宏滨光学 章几何光学的近轴理论 s+2s(s+r(-cos)=s+4r(s+r)sin B p2=s2-2rs'+r2+r2+2r(s'+r)cos=s2-2r(s'-r)+2r(S-r)cosp s+2s(s-r(+cos)=s'-4r(s-r)sin (8) 由(6)(7)(8)式,可得 s-+4r(s+r)sin 22-4r(s-r)sin2 n2(s+n)2 即 -4rsin )(10) 2(s+r)2n2(s'-r) 由(10)式可见,同一物点,光线方向不同时,即φ不同时,折射后的光线与主光轴的 交点是不同的。即同心光束经球面折射后,失去同心性。 欲使折射光线保持同心性,必须满足近轴(傍轴)条件,即很小,中≈0,5im20 此时(10)式左端为0,有m(s+r)n(S-n,化为 nnn -n ,为折射球面的光焦度 平行光入射,s=∞,得s'=日厂=∫",像方焦距,像点Q所在位置为像方焦点。 折射光为平行光,s'=∞,得s =f,物方焦距,物点Q所在位置为物方焦点 上式亦可写为 f f =1,为 Gauss公式。 2.轴外物点成像 物点Q1在主光轴之外。连接Q和球面中心C,则QC也可以看作是球面的一条与主光轴完全 相同的光轴。Q的像Q1在QC的连线上。相当于主光轴绕C点旋转一个角度,同时物点和像点 旋转。圆弧QQ1的像为圆弧QQ

崔宏滨 光学 第一章 几何光学的近轴理论 2 2 ( )(1 cos ) 4 ( )sin 2 2 2 φ = s + s s + r − φ = s + r s + r （7） 2 2 ( ) cosφ 2 ( ) 2 ( ) cosφ 2 2 2 2 2 p′ = s′ − rs′ + r + r + r s′ + r = s′ − r s′ − r + r s′ − r 2 2 ( )(1 cos ) 4 ( )sin 2 2 2 φ = s′ + s′ s′ − r + φ = s′ − r s′ − r （8） 由（6）（7）（8）式，可得 = + + + 2 2 2 2 ( ) 2 4 ( )sin n s r s r s r φ 2 2 2 2 ( ) 2 4 ( )sin n s r s r s r ′ ′ − ′ − ′ − φ 即 − + 2 2 2 n (s r) s 2 2 2 n (s r) s ′ ′ − ′ = 2 4 sin2 φ − r + + 2 2 2 ( ) ( n s r s ) ( ) 2 2 2 n s r s ′ ′ − ′ （10） 由（10）式可见，同一物点，光线方向不同时，即φ 不同时，折射后的光线与主光轴的 交点是不同的。即同心光束经球面折射后，失去同心性。 欲使折射光线保持同心性，必须满足近轴（傍轴）条件，即φ 很小，φ ≈ 0， 0 2 sin2 ≈ φ 。 此时（10）式左端为 0，有 s n s r s n s r ′ ′ ′ − = ( + ) ( ) ，化为 r n n s n s n ′ − + = ′ ′ 2 n′ − n Φ = ，为折射球面的光焦度。 平行光入射， s = ∞ ，得 f n n n r s = ′ ′ − ′ ′ = ，像方焦距，像点Q‘ 所在位置为像方焦点。 折射光为平行光，s′ = ∞ ，得 f n n nr s = ′ − = ，物方焦距，物点 Q 所在位置为物方焦点。 上式亦可写为 + = 1 ′ ′ s f s f ，为 Gauss 公式。 2． 轴外物点成像 物点Q1在主光轴之外。连接Q1和球面中心C，则Q1C也可以看作是球面的一条与主光轴完全 相同的光轴。Q1的像Q1 ‘在Q1C的连线上。相当于主光轴绕C点旋转一个角度，同时物点和像点 旋转。圆弧 的像为圆弧 。 QQ1 Q Q! ′ ′ 10