湘潭大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 拉普拉斯变换 连续时间系统的S域分析（4.5-4.7-4.8）

第四章拉氏变换 §4.5线性系统的拉氏变换分析法及系统函数 拉氏变换分析法: 一将时域信号、系统变换到Ss域,进行分析求解 二.建立S域元件模型,进行分析求解 系统函数 三、从信号分解的观点全响应分为零状态响应与零输入响应

第四章 拉氏变换 §4.5 线性系统的拉氏变换分析法及系统函数 拉氏变换分析法: 一.将时域信号、系统变换到S域，进行分析求解 二. 建立S域元件模型，进行分析求解 三、从信号分解的观点,全响应分为零状态响应与零输入响应 系统函数

啦变换分析法步 信号x(s) 取拉 y(的微分方程氏 及初条件变的代数方祖 换 典求解 解方程 微分方程的解 取拉氏反变垫 y(s)的画

一 . 拉氏变换分析法步骤 y(t)的微分方程 及初始条件 y(s)的代数方程 y(s)的函数 微分方程的解 取 拉 氏 变 换 取 拉 氏 反 变 换 解方程 经典法求解 信号x(s)

例1:如图所示,求回路的电流I e(t) R (1)列写微分方程:∠(t+Ri(07 i(tdt=e(t) dt (2)取拉氏变换:取0系统 由微分性质:L[L]=Ls/(s)-L(0) 由积分性质:L[[a(r)dr 0 CS S

+ − e(t) (0) L i L C + − u (t) c R 例1：如图所示，求回路的电流I。 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (1) : i d e t c Ri t dt di t L t + + = − 列写微分方程   (2)取拉氏变换:取0 − 系统 ] ( ) (0) ( ) : [ LiL LsI s dt di t 由微分性质 LT L = − s u cs I s i d c LT c t ( ) (0) ( ) ] 1 : [ = + − 由积分性质  

所以原方程的拉氏变换式为: Lsl(S)-Li, (0)+RI(s)+-1(s)+ (0)E( CS E(S)+Li/(0 (0) Li(0) (0 E(S) ls+rt strt strt CS CS CS 显然,上过程中初始条件1(O)2(0)被动计入对(s)反 变换得(),则(1)为全响应 初始条件电路变化之前求得。 零状态响应 零输入响应

所以原方程的拉氏变换式为： ( ) (0) ( ) 1 ( ) (0) ( ) E s s u I s cs LsI s Li RI s c − L + + + = cs Ls R s u E s Li I s c L 1 (0) ( ) (0) ( ) + + + −  =             + + − + + + = cs Ls R s u Li cs Ls R E s c L 1 (0) (0) 1 ( ) ( ), ( ) . , , (0), (0) . ( ) 变换得 则 为全响应 显然 上过程中 初始条件 被自动计入对 反 i t i t i u I s L c 初始条件电路变化之前求得。 零状态响应 零输入响应

① 192(2 例2 IF 令白n2(0 H31() 4 3 已知:()=t()Au2(0)=V i2(t)=el(t)Ai(0)=0 求Ll2(

例2 求 已知: ( ) ( ) (0 ) 0 4 1 ( ) ( ) (0 ) 2 2 1 = = = = − − − l t c i t e u t A i i t t u t A u V ( ) 2 u t 1 1  3 1 H 4 1 ( ) 1F 1 i t ( ) 2 i t 3 1 2 3 ( ) 1 u t ( ) 2 u t ( ) 1 u t • • • + −

解:1列出节点电位方程 (1+1)1(t)+c d1() lu, (t=i,(t) l4()+(1+1m2()+2()drz=2(t)+3m1() 碜项,銮理代入参飘得: 2l1(t)+ du, (t l2(=t(t) dt 41()+42( 4」 2t u,(tdt=eu( (t)

解:1.列出节点电位方程 − − + + + = + + + − = t u d i t u t L u t u t u t i t dt du t u t c ( ) ( ) 3 ( ) 1 ) ( ) 3 1 1 1 ( ) (1 1 ( ) ( ) ( ) (1 1) ( ) 1 2 2 2 1 2 1 1 1   移项，整理并代入参数得： − − − + + = + − = t t u t u t u d e u t u t t u t dt du t u t 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 1 2 2 2 1 1  

初始条件 l(0)=2(0+)=l1(0)=元7 4 i,(0)=i1(01)=0 2求这组方程的拉氏变换 21(s)+Sl1(s)-l12(0)-l2(s) S 4 41(s)+42()+-l2()= s+2 斛联立代數方程組得

初始条件 (0 ) (0 ) 0 4 1 (0 ) (0 ) (0 ) 1 = = = = = − + − + − L L c c i i u u u V 2.求这组方程的拉氏变换 2 1 ( ) 4 4 ( ) 4 ( ) 1 2 ( ) ( ) (0 ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 + − + + = + − − = − s u s s u s u s s u s su s u u s c 解联立代数方程组得

(S+2)a1(S)-l2(S) 4s1(s)+4(S+1)l2(s) s+2 写戚矩阵形式 u,s 2 4 4s4(s+)n2(s S s+2

2 4 ( ) 4( 1) ( ) 4 1 1 ( 2) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 + − + + = + − = + s s su s s u s s s u s u s           + + =            − + + − 2 4 1 1 ( ) ( ) 4 4( 1) ( 2) 1 2 2 1 s s s u s u s s s s 写成矩阵形式

越出方程的解 2()= 2 s(S+1)2+1 3拉氏递变换 2()=L[2(s)]=[-esim()(t)

求出方程的解 ( 1) 1 2 1 1 ( ) 2 2 + + = − s S u s 3.求拉氏逆变换 sin( )] ( ) 2 1 ( ) [ ( )] [ 2 1 2 u t L u s e t u t − −t = = −

s域元件模型 A、回路分析下的s域元件模型:阻抗值 v()=Ri2()拉氏变换>Vg(s)=R(s) 电阻 v()=L a1,(),拉氏变换→”V(S)=S(3)-L2(O) dt + 电感 i(t)dt 拉氏变换 1g(s),2(0 C CS (S 电容

二、s域元件模型 A、回路分析下的s域元件模型：阻抗值 v (t) Ri (t) V (s) RI (s) R = R ⎯ ⎯→ R = R 拉氏变换 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) L L L L L V s sLI s Li dt di t v t = L ⎯ ⎯→ = − 拉氏变换 s u cs I s i d V s c v t c c c t c ( ) (0) ( ) ( ) 1 ( ) = ⎯ ⎯→ = + − 拉氏变换   + − I (s) R V (s) R −+ sL (0) LiL + − I (s) L V (s) L 电阻 电感 cs + − 1 s vc (0) I (s) c + Vc (s) − 电容