《电工学》课程教学资源（PPT课件）第04章 非正弦周期信号电路

第四章 非正弦周期 信号电路

第四章 非正弦周期 信号电路

§1非正弦周期信号的傅立叶级数 任意一个周期为T的非正弦周期信号f),若满足狄里赫利 条件，就可以展开为傅立叶级数。 f)）=ft+T)=a,+∑(a coskot+-b:sin k)） 2元 0三 ra-Md T 角频率 ()coskoid 傅立叶 系数 6-子f0smod

§1 非正弦周期信号的傅立叶级数 任意一个周期为T的非正弦周期信号f(t)，若满足狄里赫利 条件，就可以展开为傅立叶级数。   = = + = + + 1 0 ( ) ( ) ( cos sin ) k k k f t f t T a a kt b kt T   2 =  = T f t dt T a 0 0 ( ) 1  = T k f t k tdt T a 0 ( ) cos 2   = T k f t k tdt T b 0 ( )sin 2  角频率 傅立叶 系数

将傅立叶级数中同频率的正弦项和余弦项合并，得 f(t)=f(t+T)=do+>Ai sin(kot+g) k_ An=Va候+b好 直流分量 Px arctan 1次斜波分量 Am sin(ot+) k次斜波分量 A sin(kot+e) 由于傅立叶级数的收敛性，当谐波次数较高时，其大小也就较小。因此，在 工程计算中，只要取级数的前几项就能近似地表达原来的非正弦周期信号

将傅立叶级数中同频率的正弦项和余弦项合并，得   = = + = + + 1 0 ( ) ( ) sin( ) k km k f t f t T a A kt  2 2 Akm = ak +bk k k k b a  = arctan 1次斜波分量 k次斜波分量 sin( ) 1  +1 A t m sin( ) km k A kt + 直流分量 由于傅立叶级数的收敛性，当谐波次数较高时，其大小也就较小。因此，在 工程计算中，只要取级数的前几项就能近似地表达原来的非正弦周期信号

例：求图示锯齿波 ) 的傅立叶级数。 o- 0≤t<T a=fwah-m-分 a:-子f)coskotd=-子1 coskold=-0 将非正弦周期信号展 b,=子fa)sin keid=-子 开为傅立叶级数，关键是 求傅立叶系数。通常非正 弦周期信号都具备某些对 -2(eno+2sn2a 称的特点，利用这些对称 的特点，可以简化计算

t T 2T 3T 4T 例：求图示锯齿波 f(t) 的傅立叶级数。 t T A f (t) = 0  t T 2 1 ( ) 1 0 0 0 A tdt T A T f t dt T a T T = = =   cos 0 2 ( ) cos 2 0 0 = = =   T T k t k tdt T A T f t k tdt T a      k A t k tdt T A T f t k tdt T b T T k = = = − 0 0 sin 2 ( )sin 2 sin 3 ) 3 1 sin 2 2 1 (sin 2 ( ) = − t + t + t + A A f t     将非正弦周期信号展 开为傅立叶级数，关键是 求傅立叶系数。通常非正 弦周期信号都具备某些对 称的特点，利用这些对称 的特点，可以简化计算

§2非正弦周期电流、电压的有效值、 平均值及平均功率 1有效值 定义 i=1o+21 sin(kot+) k=1 I=VI+I?++I+. u=U。+∑V2 sin(kot+ps) k=1 U=VU+U+U3+U}+

§2 非正弦周期电流、电压的有效值、 平均值及平均功率 1 有效值   = = + + 1 0 2 sin( ) k k k i I I kt  I = I0 2 + I1 2 + I2 2 + I3 2 +   = = + + 1 0 2 sin( ) k k k u U U kt  U = U0 2 +U1 2 +U2 2 +U3 2 +  = T i dt T I 0 1 2  = T u dt T U 0 1 2 定义

2平均值 定义 非正弦周期电流、电压的平均值等于对应的 傅立叶级数展开式中的直流分量，即恒定分量

2 平均值  = T av idt T I 0 1  = T a v udt T U 0 1 定义 非正弦周期电流、电压的平均值等于对应的 傅立叶级数展开式中的直流分量，即恒定分量

3平均功率 u=U,+22mkr+） 两端 网络 =sin(kot + k-1 p ui p-7idi-,+,1.os0, k=1 0=-pak=1,2,3

3 平均功率 两端 网络 u i = = + + 1 0 2 sin( ) k k ki i I I kt  = = + + 1 0 2 sin( ) k k ku u U U kt  p = ui  = = = + 1 0 0 0 cos 1 k k k k T uidt U I U I T P  k = ku − ki k = 1 , 2 , 3 

例：已知二端网络的电压、电流分别为： u=100+100sin @t+30sin(3@t-30)V i=25+50sin(ot-45)+10sin(3ot-60)A 求：二端网络的平均功率P-=? 解： P=U0lo+U1 cos+U313 cos3 10050 3010 =100×25+ c0s(0°+45)+ √2√2 √2√2 c0$(-30°+60°) =2500+1767.8+129.9=4397.7(W

例：已知二端网络的电压、电流分别为： 100 100sin 30sin( 3 30 )V  u = + t + t − 25 50sin( 45 ) 10sin( 3 60 )A   i = + t − + t − 求：二端网络的平均功率P=？ 2500 1767.8 129.9 4397.7(W) cos( 30 60 ) 2 10 2 30 cos(0 45 ) 2 50 2 100 100 25 cos cos 0 0 1 1 1 3 3 3 = + + = =  + + + − + = + +     P U I U I  U I  解：

§3非正弦周期信号电路的谐波分析法 非正弦周期信号激励下线性电路的分析方法与步骤： (1)将给定的非正弦周期信号（电压或电流）展开为傅立叶级 数。傅立叶级数的高次谐波取到哪一项为止，根据所需要的准 确度的高低而定。 (2)根据叠加原理，将展开的傅立叶级数的直流分量和各次谐波 分量分别作用于所分析的电路，利用直流或交流电路的分析方法求 出各分量的响应。注意：求直流分量的响应时，电容相当于开路， 电感相当于短路；求各次谐波分量的响应时，相对于各次谐波的阻 抗值是不同的，其中感抗为X=koL;容抗为X=IkoC。 (3)将所求得的直流分量和各次谐波分量的响应叠加，即为所求 得电路的响应。注意：一定是瞬时值的叠加，而不是相量的叠加， 因为不同频率的相量叠加在电路中没有实际的物理意义

§3 非正弦周期信号电路的谐波分析法 非正弦周期信号激励下线性电路的分析方法与步骤： （1）将给定的非正弦周期信号（电压或电流）展开为傅立叶级 数。傅立叶级数的高次谐波取到哪一项为止，根据所需要的准 确度的高低而定。 （2）根据叠加原理，将展开的傅立叶级数的直流分量和各次谐波 分量分别作用于所分析的电路，利用直流或交流电路的分析方法求 出各分量的响应。注意：求直流分量的响应时，电容相当于开路， 电感相当于短路；求各次谐波分量的响应时，相对于各次谐波的阻 抗值是不同的，其中感抗为XL=kL；容抗为XC=1/kC。 （3）将所求得的直流分量和各次谐波分量的响应叠加，即为所求 得电路的响应。注意：一定是瞬时值的叠加，而不是相量的叠加， 因为不同频率的相量叠加在电路中没有实际的物理意义

例：已知R=10,C=100uF,o=200πrad/s, u;=3.18+5sin @t-2.12sin(201+90)i R -0.42sin(4ot+90°)V 求：u。=? 解：①当直流分量4，O=3.18单独作用时： u(0)=u(0)=3.18

求：uo =？ 解： （1）当直流分量u（i 0）= 3.18单独作用时： uo (0) = ui (0) = 3.18 例：已知R=10 ，C=100F，=200 rad/s， 0.42sin( 4 90 )V 3.18 5sin 2.12sin( 2 90 ) i   − + = + − + t u t t    ui i uo R C