《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 微分中值定理及其应用 第四节 函数的极值与最大（小）值

S4 函数的极值与最大（小）值极大（小）值是局部的最大（小）值，它有看很明显的几何特征.在本节中，我们将逐一研究函数的这些几何特征。一、极值判别二、最大值与最小值返回前页后页

前页 后页 返回 §4 函数的极值与最大(小)值 二、最大值与最小值 极大(小)值是局部的最大(小)值, 它 一、极值判别 们将逐一研究函数的这些几何特征. 有着很明显的几何特征. 在本节中,我 返回

一、极值判别费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳定点也就是说，在曲线上相应的点处的切线一定是水平的我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的条件下建立的.换句话说，若没有可微这个前提条件，费马定理的结论f(x）=0就无从说起前页后页返回

前页 后页 返回 费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳 一、极值判别 我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的 定是水平的. 定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一 条件，费马定理的结论 f x ( ) = 0 就无从说起. 条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提

当然，费马定理的逆命题亦不真，例如对于任意V的可微函数@(x)，(0)±0,函数=x@(x)在点x=0的导数为零，但x=0不是它的x0极值点.下面给出极值的充分条件定理6.10（极值的第一充分条件）设函数f(x)在x,连续，在某邻域 U（x;8）上可导，后页返回前页

前页 后页 返回 当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意 3 函数 在点 的 y x x x = = ( ) 0 下面给出极值的充分条件. 定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在 0 0 x U x 连续，在某邻域 上可导 ( ; ) .  导数为零, 但 x = 0 不是它的 极值点. y O x 的可微函数   ( ) , (0) 0, x 

(i)若当xe(x,-S,x,)时,f'(x)≤0,当x(x,x, +)时，f(x)≥0,则 f(x)在点x,取得极小值(ii)若当xe(x,-S,x)时,f'(x)≥0,当x(x,x, +)时，f'(x)<0,则 f(x)在点x,取得极大值证根据导函数的符号判别函数单调性的方法，可以知道该定理的几何意义十分明显：在这里仅给出(i)的证明后页返回前页

前页 后页 返回 0 时，f x f x x ( ) 0, ( ) .  则 在点 取得极小值 0 0 0 0 0 (ii) ( , ) , ( ) 0, ( , ) 若当 x x x f x x x x  −   +   时  当 0 时，f x f x x ( ) 0, ( ) .  则 在点 取得极大值 证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可 0 0 0 (i) ( , ) ( ) 0, 若当 x x x f x  −   时,  0 0 当 x x x  + ( , )  出 (i) 的证明. 以知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给

因为 f'(x)≤0, xe(x -8,xo), f(x)在(x, -8,x)上连续，所以f(x)在(x-,xol上递减，故f(x)≥ f(x) , xe(x.-S,x)同理可证f(x)在[x,x,+8)上递增,故f(x)≥f(x), xe(xo,x, +)于是f(x)≤ f(x), xeU(xo;8),即x.是f(x)的一个极小值点.后页返回前页

前页 后页 返回 ( ) 0 , ( , ) , ( ) ( , ] 0 0 x x0 x0 因为 f  x  x  x −  x f 在 −  上连续，所以 f (x) 在 (x0 −  , x0 ]上递减，故 0 0 0 f x f x x x x ( ) ( ) , ( , ) .   −  0 0 0 f x f x x x x ( ) ( ) , ( , ) .   +  于是 0 0 f x f x x U x ( ) ( ) , ( ; ) ,    0 即 是 的一个极小值点 x f x( ) . 0 0 同理可证 f x x x ( ) [ , ) 在 + 上递增,故

定理6.11（极值的第二充分条件)设f(x)在点x的某邻域U(x;)内可导，f"(x）存在.若f'(x)=0, f"(x)+0,那么x=x.是f(x)的一个极值点，并且(i)f"(x)>0,则 f(x)在x=x。处取极小值(ii)f"(x)<0,则 f(x)在x=x。处取极大值证同样我们仅证(i).因为f'(x)- f'(x)f'(x))-limf"(xo)= lim70,x-xox-xox→xo X-Xo后页返回前页

前页 后页 返回 定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0 0 0 的某邻域 内可导， 存在.若 U x f x ( ; ) ( )   0 那么 是 的一个极值点 并且 x x f x = ( ) , 0 0 (i) ( ) , ( ) . f x f x x x   = 0 则 在 处取极小值 0 0 (ii) ( ) , ( ) . f x f x x x   = 0 则 在 处取极大值 证 同样我们仅证(i). 因为 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim , x x x x f x f x f x f x → → x x x x   −   = =  − − 0 f x ( ) , = 0 0 f x ( ) ,  0

所以由保号性，存在s>0,当xeU（x;8)时，f'(x) >0.x-xo从而当 xe(x-S,x)时,f'(x.)0.由极值判别的第一充分条件得知：x.是极小值点后页返回前页

前页 后页 返回 所以由保号性， 0 存在 当 时,     0, ( ; ) x U x 0 0 ( ) . f x x x   − 0 0 从而当 时 x x x  − ( , ) ,  由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 . ( , ) , 当 x  x0 x0 +  时 f x ( ) .  0 0 f x ( ) ;  0

注建议读者与教材上的证明方法相比较，这里的证明方法更具一般性例1求函数f(x)=3arctanx-lnx的极值点。解由31 -(x2 -3x +1)-0.f'(x)C1+xx(1+ x)r求得稳定点3-V53+V5Xi=,X2 =22后页返回前页

前页 后页 返回 注 建议读者与教材上的证明方法相比较, 这里的 例1 求函数 f (x) = 3arctan x − ln x的极值点. 解 由 0, (1 ) 1 ( 3 1) 1 3 ( ) 2 2 2 = + − − + − = +  = x x x x x x f x 求得稳定点 . 2 3 5 , 2 3 5 1 2 + = − x = x 证明方法更具一般性

3-V5当00 ;X2253+7当x时, f'(x)<0. y2y = 3arctanx-Inx所以 x 是 f(x)的极小值21点,x,是f(x)的极大值点oxix 4 x（参见右图）后页返回前页

前页 后页 返回 3 5 0 2 x − 当 时，   f x ( ) ;  0 , 2 3 5 2 3 5 当 时 +   − x f x ( ) ;  0 , 2 3 5 当 时 + x  f x ( ) .  0 所以 1 x f x 是 的极小值 ( ) 2 点, 是 的极大值点 x f x( ) . (参见右图) x1 x2 y x x = − 3arctan lnx y O 4 2 4

例2 求函数 f(x)=(x-a)x3 的极值点与极值 .解 f(x)= x3-x 在(-00,+o0) 上连续 当x+0时，1(x)-ri-rl23/x(5x-2a)当a±0时，稳定点为x=2,不可导点为x=0；S当a=0时，稳定点为x=0，没有不可导点后页返回前页

前页 后页 返回 例2 ( ) ( ) . 3 2 求函数 f x = x − a x 的极值点与极值 解 5 2 3 3 f x x ax ( ) ( , ) . = − − + 在 上连续 当 x  0时, 2 1 5 3 2 3 ( ) 3 3 a f x x x−  = −(5 2 ). 3 1 3 x a x = − 2 0 5 0 , , ; a 当 时 稳定点为 不可导点为 a x x  = = 当 a = 0时， 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点