《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 导数与微分 §3 参变量函数的导数

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S3 参变量函数的导数平面曲线C的直角坐标方程：y= f(x)隐函数表示的平面曲线C的方程：F(x,y) =0返回前页后页

前页 后页 返回 平面曲线C 的直角坐标方程: 隐函数表示的平面曲线C 的方程： y f x = ( ) 返回 F x y ( , ) 0 = §3 参变量函数的导数

平面曲线C的参数方程x=x(t), y=y(t), tel例姆3中的曲线：x=x(t), y=y(t), z=z(t), tel返回前页后页

前页 后页 返回 x x t y y t t I = =  ( ), ( ), . 例如 中的曲线: 3 R x x t y y t z z t t I = = =  ( ), ( ), ( ), . 平面曲线C 的参数方程 返回

设平面曲线C的参数方程为x=p(t),(1)α≤t<≤β.y=y(t),如果函数x=(t)有反函数t=@(),则(1)式可确定复合函数 y=(β-(x)= f(x).由此说明平面曲线两种方程之间的联系后页返回前页

前页 后页 返回 设平面曲线 C 的参数方程为 平面曲线两种方程之间的联系. ( ), . (1) ( ), x t t y t      =     = 如果函数 x t =  ( ) 有反函数 ( ), 则 (1) 式可 1 t x − =  1 y x f x  ( ( )) ( ) . − 确定复合函数 = = 由此说明

这种由参数方程（1)所表示的函数，称为参变量函数. 如果β(t),(t)都可导，且β'(t)0, 根据复合函数和反函数的求导法则，得到dydy dt dy /dxyt(2)dxdt dxdt /dt p'(t)前页后页返回

前页 后页 返回 数. 如果 都可导   ( ), ( ) t t , 且(t)  0, 根据复合 这种由参数方程 (1) 所表示的函数, 称为参变量函 函数和反函数的求导法则, 得到 d d d ( ) d d . (2) d d d ( ) d d y y t t y x x t x t t t    = = = 

(2)式的几何意义如下：设由(1)式表示的曲线C在点 P(p(to),y(to)) 处有切线.过点 吸邻近点Q(@(to+△t),y(t +△t)) 的割线 PQ 的斜率为yAy y(to +△t)-y(to)QAyAxp(to +At)-p(to)PAxa0x后页返回前页

前页 后页 返回 (2) 式的几何意义如下: 设由 (1) 式表示的曲线 C 0 0 0 0 Δ ( Δ ) ( ) , Δ ( Δ ) ( ) y t t t x t t t     + − = + − Q t t t t ( (   0 0 + + Δ ), ( Δ )) 的割线 PQ 的斜率为 0 0 在点 P t t ( ( ), ( ))   处有切线.过点 P 及邻近点 Δ y Q O y x P Δx  • • C

如果 β(t), y(t)在点 t. 可导，β(t)±0,则切线的斜率为[y(to +At) -y(to)] / △tAyJinlimtanα =At-0 Ax 4t-0 [p(to +At)-p(t)] /Atyy'(to)9Ayp'(to)PAxO0x返回前页后页

前页 后页 返回 Δ y Q O y x P Δx  • • C , ( ) ( ) 0 0 t t     = 如果 0   ( ), ( ) t t t 在点 可导， (t 0 )  0, 则切线 0 0 Δ 0 0 0 0 Δ [ ( Δ ) ( )] Δ tan lim lim t t Δ [ ( Δ ) ( )] Δ y t t t t x t t t t     → →   + − = = + − 的斜率为

其中α是切线与x轴正向的夹角p'(to)当y(tg)± 0 时, 有 cotα=y'(to)DPAx0X前页后页返回

前页 后页 返回 ( ) 0 , 当 t 0  时 有 . ( ) ( ) cot 0 0 t t      = 其中  是切线与 x 轴正向的夹角. Δ y Q O y x P Δx  • • C

若 β,在[α,β]上都存在连续导数,且"(t)+y"(t)+0则称曲线C为光滑曲线.光滑曲线的每一点都存在切线，且切线与x轴正向的夹角α(t)是t的连续函数.前页后页返回

前页 后页 返回 2 2     ( ) ( ) 0 , t t +  则称曲线 C 为光滑曲线. 光滑曲线的每一点都存在 若 在     , [ , ] 上都存在连续导数,且 切线, 且切线与 x 轴正向的夹角 ( )t t 是 的连续 函 数

例1求由参数方程x =acost,te(0, 元)y=bsint,（这是上半椭圆方程）所确定的函数=f（x）的导数，并求此椭圆在t=元/4处的切线方程解由公式（2）得到前页后页返回

前页 后页 返回 例1 求由参数方程 cos , (0, π ) sin , x a t t y b t  =    = 解 由公式 (2) 得到 ( 这是上半椭圆方程 ) 所确定的函数 y f x = ( ) 的 导数, 并求此椭圆在 π 4 处的切线方程. t =