《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 微分中值定理及其应用 第三节 泰勒公式

S3泰勒公式多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容，也是数学的研究课题之一一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用前页返回后页

前页 后页 返回 §3 泰勒公式 多项式函数是最简单的函数.用多项 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 三、在近似计算中的应用 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 要内容,也是数学的研究课题之一. 式来逼近一般的函数是近似计算的重 返回

一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式设f(x)在x=x.处可导,由有限增量公式f(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+o(x -xo)当lxx.l充分小时，f(x)可以由一次多项式f(x)+ f'(x,)(x-x,)近似地代替，其误差为o(xx）.在许多情况下误差仅为o(x一x.）是不够的，而要考虑用较高次的多项式来逼近f,使得误差更小,如o(（x-x）"）后页返回前页

前页 后页 返回 设 f (x) 在 x = x0 处可导, 由有限增量公式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f  − + − 当 | | x − x0 充分小时, f (x) 可以由一次多项式 ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x + f  − 近似地代替, 其误差为 ( ) o x − x0 . 在许多情况下, 一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 ( ) 误差仅为 o x − x0 是不够的, 而要考虑用较高次 的多项式来逼近 f , 使得误差更小, 0 ( ( ) ). n 如o x x −

问题：是否存在一个n次多项式P(x)，使得f(x)- P,(x) =o(x-x,)")?答案：当f(x）在点xo有n阶导数时，这样的n次多项式是存在的.现在来分析这样的多项式与f(x)有什么关系？设则P(x)=a, +a(x-x,)+...+a,(x-x,)"返回前页后页

前页 后页 返回 问题: 是否存在一个 n次多项式 P (x), n 使得 ( ) ( ) (( ) )? n x Pn x o x xo f − = − 答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多 设 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , n P x a a x x a x x n n = + − + + − 则 有什么关系？ 项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x)

P,(x) = ao, P'(x,) = a, P'(x,) = 2!a2,...p,(")(x,)=n!an,P'(x,)P'(x.)即 a, = P,(x,), a, =a2!1!p(")(x))ann!上式表明P,(x）的各项系数是由其在点xo的各阶导数所确定的设f(x）在x处n阶可导.如果后页返回前页

前页 后页 返回 0 0 0 1 0 2 ( ) , ( ) , ( ) 2! , , P x a P x a P x a n n n = = =   ( ) ! , 0 ( ) n n Pn x = n a 即 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ), , , , 1! 2! n n n P x P x a P x a a   = = = ( ) 0 ( ) . ! n n n P x a n = 上式表明 Pn (x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶 设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果 导数所确定的

f(x)-P,(x)= o((x-x)"),即f(x)-P,(x)-0.lim(x-x,)"x-xo则不难得到：f(k)(xo)= Pp(k(xo), k = 0, 1, 2, .., n, (1)其中k=0表示不求导.这时称I'(x)(x-x)+..+T,(x)= f(x) +1!("(xo)(x-x)".(2)n!后页返回前页

前页 后页 返回 即 0 0 ( ) ( ) lim 0, ( ) n n x x f x P x → x x − = − 则不难得到: ( ) ( ), 0, 1, 2, , , 0 ( ) 0 ( ) f x P x k n k n k = =  (1) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1! n f x T x f x x x  = + − + + ( ) ( ) (( ) ), 0 n f x − Pn x = o x − x 其中k = 0 . 表示不求导 这时称 (2) ( ) 0 0 ( )( ) . ! n n f x x x n −

为f(x)在点x的n阶泰勒多项式，称f(k(x,)福(k =0,1,..,n)k!为泰勒系数.T,(x）确实是我们所需要的多项式定理 6.8设f(x)在x=xo处有n阶导数，则f(x)=T,(x)+o((x-x,)")即(x-xo)+I"(x)(x)= f(x0)+ I(x0)1(x-x) +2!1!f(m(xo)(x- x,)" + o(x-x,)")...+(3)n!前页后页返回

前页 后页 返回 为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒多项式, 称 为泰勒系数. T ( x) 确实是我们所需要的多项式. n ( ) 0 ( ) ( 0 , 1 , , ) ! k f x k n k = 定理 6.8 设 f (x) 在 x = x0 处有n 阶导数，则 ( ) ( ) (( ) ) , 0 n f x = Tn x + o x − x 即 − +  − +  = + 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) 1! ( ) ( ) ( ) x x f x x x f x f x f x ( ) (( ) ). ! ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x o x x n f x + − + − (3)

证设 R,(x)= f(x)-T,(x), Q,(x)=(x-x)"只需证R,(x)0limQn(x)x-→xo因为由（1）式R,(x)= R'(xo)=...= R,("(xo)= 0Q,(x,) = Q'(x,) =...= Q(n-l'(x,) = 0 , Q.()(x) = n!则当xeU(x)且x→x,时,连续使用n-1次洛必达法则，得到后页返回前页

前页 后页 返回 只需证 0 . ( ) ( ) lim 0 = → Q x R x n n x x 因为由（1）式， ( ) ( ) ( ) 0, 0 ( ) R x0 = R x0 = = R x = n n n  n ( 1) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) ! n n Q x Q x Q x Q x n n n n n − = = = = =  则当 xU  (x0 ) 且 x → x0 时， 连续使用 n –1 次洛 必达法则, 得到 证 设 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0 n Rn x = f x −Tn x Qn x = x − x

R, (n-1)R',(x)1 (x)R,(x)limlimlim+-xo n(x- x,)n-1 =x→x,n!(x-Xo)x-xo (x-Xo)"[ flu-1 (x) - f(-(x0) - f(m(x0) - 0.1limn!x-→xox-Xo(3)式称为f(x)在点x处的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式注1即使f(x)在点x，附近满足(4)f(x) = P,(x)+o((x-x,)")前页后页返回

前页 后页 返回 !( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 ( 1) 1 0 0 0 0 0 n x x R x n x x R x x x R x n n x x n n x x n n x x − = = −  = − − → → − →  ( ) 0. ( ) ( ) lim ! 1 0 ( ) 0 0 ( 1) ( 1) 0  =      − − − = − − → f x x x f x f x n n n n x x (3) 式称为 f (x) 在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式. 注1 0 即使 f (x) 在点 x 附近满足 ( ) ( ) (( ) ) (4) 0 n f x = Pn x + o x − x

也不能说明P,(x)一定是f(x)的n阶泰勒多项式比如f(x)= D(x)· xn+l , P,(x)= 0,在x,=0处满足(4)但是当 n>1时，P,(x)不是f(x) 在点Xo=0 的 n 阶泰勒多项式,原因是 f(μ)在点x=0的高阶导数（一阶和二阶以上）都不存在，所以无法构造n阶多项式后页返回前页

前页 后页 返回 也不能说明 P ( x) n 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式. ( ) ( ) , ( ) 0, 1 =  = + f x D x x Pn x n 在 x0 = 0 处满足 (4) 但是当 n > 1 时, P ( x) n 不是 f (x) 在点 的 n 阶泰勒多项式, 原因是 f (x) x0 = 0 在点 x = 0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存 比如 在,所以无法构造 n 阶多项式

注2若f(x)在点xo有n阶导数，则只有惟一的多项式（泰勒多项式T,(x)）满足f(x) = T,(x)+o((x-x,)")注3 可以证明对任意一个n次多项式P(x)，存在U(x,), 使得 f(x)-T,(x)/≤L f(x)-P,(x)/, xeU(x)这也就是说,T,(x)是逼近f(x)的最佳n次多项式后页返回前页

前页 后页 返回 ( ) ( ) (( ) ). 0 n f x =Tn x + o x − x 注3 可以证明对任意一个n 次多项式 P (x) , n 存在 ( ), U x0 使得 | ( ) ( )| | ( ) ( )| , ( ). x P x x U x0 f x T x f − n  − n  这也就是说, T (x) n 是逼近 f (x) 的最佳 n 次多项式. 注2 若 f (x) 在点 x0 有n 阶导数, 则只有惟一的多 项式 ( 泰勒多项式 Tn (x) ) 满足: