《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 微分中值定理及其应用 第六节 函数图象的讨论

S6函数图象的讨论在中学里学过一些简单函数的作图，采用的王要方法是描点法·这种方法比较粗糙一般不能精确反映函数的基本特性（如单调区问，极值点，凸性，拐点）·在这一节中，将综合运用学过的微分学知识，并结合周期性、奇偶性等初等数学知识，比较完整地介绍函数的作图方法。前页返回后页

前页 后页 返回 §6 函数图象的讨论 在中学里学过一些简单函数的作图, 采用 介绍函数的作图方法. 性、奇偶性等初等数学知识，比较完整地 将综合运用学过的微分学知识, 并结合周期 区间, 极值点, 凸性, 拐点) . 在这一节中， 一般不能精确反映函数的基本特性(如单调 的主要方法是描点法. 这种方法比较粗糙, 返回

函数作图基本步骤：确定函数的定义域，并讨论奇偶性、周期性：(i)不(ii）找出函数图象的特殊点，比如与两坐标轴的交点，以及函数的不连续点、不可导点；(ii)确定函数的单调性区间、极值点、凸性区间拐点；(iv）找出渐近线：（v）综合上述结果，列表并作图后页返回前页

前页 后页 返回 函数作图基本步骤： (i) 确定函数的定义域, 并讨论奇偶性、周期性; (ii) 找出函数图象的特殊点，比如与两坐标轴的 (iii) 确定函数的单调性区间、极值点、凸性区间、 (iv) 找出渐近线； (v) 综合上述结果,列表并作图. 交点,以及函数的不连续点、不可导点； 拐点；

例1 作出函数 y=(x-1)x3 的图象解 f(x)的定义域: x (-00, +o),(m)-5x3-3x-1-543x(x)-9r$+3x1-10xt2.9x9x由f(x)=0,解得x=≥ ; x=0 时, f(x)不存在由"(x)=0,解得x=-;x=0时,f"(x)不存在前页后页返回

前页 后页 返回 2 1 3 3 3 5 2 5 2 ( ) , 3 3 3 x f x x x x − −  = − = 4 1 3 3 3 10 2 10 2 ( ) . 9 9 9 x f x x x x x − − +  = + = 2 3 例1 作出函数 的图象 y x x = − ( 1) . 解 f x x ( ) ( , ). 的定义域：  − + 2 ( ) 0, ; 0 ( ) . 5 由 解得 时, 不存在 f x x x f x   = = = 1 ( ) 0, ; 0 ( ) . 5 由 解得 时, 不存在 f x x x f x   = = − =

(--(0)3为拐320为极小值=-25点，f(0)=0为极大值下面列表表示 y=f(x)的单调区间(f'(x)的变号区间)和凸性区间(f"(x)的变号区间)返回前页后页

前页 后页 返回 点, 为极大值 f (0) 0 . = 下面列表表示 的单调区间 的变号 y f x f x = ( ) ( ( )  区间 和凸性区间 的变号区间 ) ( ( ) ). f x  2 3 3 20 , 5 25 f     = −   为极小值 2 1 6 1 3 5 5 5        − −      ， 为拐

小(18,)(小,+8)x1不f'(x)++0++存在不f"(x)0+十++O存在拐点极大极小f(x)凸减凸增凸增凹增值值f5-返回前页后页

前页 后页 返回 x 1 ( , ) 5 − − 1 5 − 1 ( ,0) 5 − 0 2 (0, ) 5 2 5 2 ( , ) 5 + f x ( ) + + + 不 存在 − 0 + f x ( ) − 0 + 不 存在 + + + f x( ) 凹增 拐点 1 1 , ( ) 5 5 ( ) − − f 凸增 极大 值 凸减 极小 值 凸增

函数图象如下y0.50.51-1-0.51.5x-0.2-0.5-1-1.5前页后页返回

前页 后页 返回 函数图象如下： -1 -0.5 -0.2 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 O 0.5 x y