《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 数列极限

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得成1?数列：成骨1或数列极限的描述性定义对于数列(an,若当 n充分变大时，an能无限地接近某个常数a，则称a，收敛于a前页后页返回

前页 后页 返回 2 1 1 1 1 , , , , , . 2 2 2 2 n n       或 数列极限的描述性定义 数列: 对于数列 , 若当 n 充分变大时, an { }n a 能无限地接近某个常数 a , 则称 { } an 收敛于 a . 1 1 1 1 , , , , , . 1 2 3 n       或

一、收敛数列的“ -N”定是义1 设 (a,) 为一个数列, a 为一个常数,若对于任意的正数ε>0,总存在正整数N,使当n>N时lan-aks,则称数列a,收敛于a，又称a为数列a的极限lima,=a (或 an→a, n→o)记作n00前页后页返回

前页 后页 返回 一、收敛数列的“ - N ”定 定义义 1 { }n 设 a 为一个数列, a 为一个常数, 若对于 任意的正数   0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时, | a − a |  , n 则称数列 { } an 收敛于a ,又称 a 为数列 { } an 的极限, 记作 lim n n a a → = ( , ) . n 或 a a n → → 

an+Ianblmxaa6ana-a+s若a不收敛，则称ia为发散数列后页返回前页

前页 后页 返回 若 { } an 不收敛, 则称 为发散数列. { }n a a x aN +1 1 a 2 a −  a +  a ( ) n a

二、按定义验证极限例1 用定义验证：lim0n-on-0分析对于任意正 8,要使8数当n>N时，证 对于任意的正数 ε,取 N1一8]1-0 0)例2 用定义证明:limn-ona前页后页返回

前页 后页 返回 二、按定义验证极限 例1 用定义验证: 1 lim 0. n→  n = 分析 对于任意正 数  , 要使 1 0 , n −   只要 . 1  n  证 对于任意的正数  , 1 N ,   =      取 当 n N  时, 1 0 , n −   所以 1 lim 0 . n→  n = 例2 用定义证明: 1 lim 0.( 0) n→  n =  

3n?lim=3例3证明2-3n→ 80n分析 由于3n?99(1)3(n≥3),n2-3-3nn9因此,对任给的ε>0，只要一<&,便有n3n3(2)<8.n2-3后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 3 lim 3 . n 3 n →  n = − 例3 证明 2 2 2 3 9 9 3 ( 3), (1) 3 3 n n n n n − =   − − 分析 由于 9 , , n 因此 对任给的  >0 ,只要  便有 2 2 3 3 , (2) 3 n n −   −

9即当n>时,(2)式成立.又由于(1)式是在8n≥3的条件下成立的,故应取N-ma/([:]/在给>0 取N-mm(6[:],据分析，当n>N时有(2)式成立.证毕前页后页返回

前页 后页 返回 9 即当n 时 ,(2)式成立.又由于(1)式是在  n  3的条件下成立的,故应取 当n N  时有(2) . . 式成立 证毕 9 N max 3,     =          9 N max 3, , ,      =         任给 0 ,取 据分析  证：

lim qn=0 (00不妨设0N时,有lgn-0/<8.这就证明了limq"=0n8返回前页后页

前页 后页 返回 lim 0 ( 0 | | 1) . n n q q →  例4 用定义验证 =   分析 对于任意的正数, 要使 | 0 | , n q −   只要 log . log | | n q   这就证明了 lim 0. n n q →  = | 0 | . n q −   证       0( 0 1), 不妨设 当 n N  时,有 log , log | | N q  取   =    

h?3--例5用定义验证limn→0分析 任给 ε>0,由n?n+73n2-n-7 3// 33(3n2-n-7)当 n≥7时, n+7≤2n, 3n2-n-7≥3n2-2n≥2n2n+72n￥1故要使≤38返回前页后页

前页 后页 返回 2 2 2 1 7 , 3 7 3 3 7 3 n n n n n n + − = − − − − （ ） 当 n  7 , 时 n + 7  2n, 2 2 2 3 7 3 2 2 , n n n n n − −  −  只要 即可. 1 3 n   2 2 1 lim . n 3 7 3 n →  n n = − − 例5 用定义验证 分析 任给   0, 由 故要使 2 2 7 2 1 3 3 7 6 3 n n n n n n  （ ） +  =  − − 成立

注意 解这个不等式是在n≥7的条件下进行的，证对于任意的正数ε，取N-mm/[]当 n>N时,有h?1<6,3n2-n-7 3即得h2limn-o3n-n-7"3前页后页返回

前页 后页 返回 证 对于任意的正数  , 取 1 max 7, , 3 N      =         当 n N  时, 有 2 2 1 , 3 7 3 n n n −   − − 即得 2 2 1 lim . n 3 7 3 n →  n n = − − 注意 解这个不等式是在 n  7 的条件下进行的