《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 导数与微分 §4 高阶导数

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前页 后页 返回 §4 高阶导数

定义4 如果 f(x)的导函数 f'(x)在点 x可导则称f'(x)在点x,的导数为函数f(x)在点x,的二阶导数，记作f"(x).此时也称f(x)在点x二阶可导如果f(x)在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶导函数，记作f"(x),xeI.仿照上述定义，可以用f 的n-1阶导函数定义f的n阶导数．二阶及二阶以上导数称为高阶导数后页返回前页

前页 后页 返回 0 0 则称 在点 的导数为函数 在点 的 f x x f x x ( ) ( ) 0 0 二阶导数 记作 此时也称 在点 , ( ). ( ) f x f x x  二阶可导. 如果 f (x) 在区间 I 上每一点都二阶可导, 则得到 仿照上述定义, 可以用 f 的 n –1 阶导函数定义 f 定义 4 如果 f x( ) 的导函数 f x( ) 在点 可导,  0 x 的 n 阶导数. 二阶及二阶以上导数称为高阶导数. 一个定义在 I 上的二阶导函数, 记作 f (x), x  I

函数f在点x，处的n阶导数记作d"f(x)drnX=Xox=Xon阶导函数记作d"(m(x)(或 y"), ym, dyf(x).dr"drnd"y(最)，意即对y进行了n次这里也可写作dxnd97求导运算（看作一个算符）dx后页返回前页

前页 后页 返回 n 阶导函数记作 0 函数 在点 处的 阶导数记作 f x n0 0 0 ( ) ( ) 0 d d ( ) ( ), , , . d d n n n n x x n n x x x x y f x f x y x x = = = ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ), , , ( ) . d d n n n n n n n y f x f y f x x x 或 d ( ) , d n y x 可写作 意即对 y 进行了n 次 d d n n y x 这里 也d dx 求导运算“ ” ( 看作一个算符 )

例1求下列函数的各阶导数：(l)y=x"(n为正整数）;(2) y=e*;(3) y = sinx,y=cosx;解 (1) y' = nx"-1, y" = n(n -1)x"-2,...y(n) = n!, y(m) = 0(m>n),(2) y'=e', y"=e', 对一切neN+,(e")(n) =e*后页返回前页

前页 后页 返回 例1 求下列函数的各阶导数: (1) y x (n为正整数); n = (2) e ; x y = !, 0 ( ). ( ) ( ) y n y m n n m = =  (3) y = sin x, y = cos x; . 解 (1) , ( 1) , , y  = nxn−1 y  = n n − x n−2  ( ) + (2) e , e , N ,(e ) e . x x x n x y y n   = =  = 对一切

加法 (u±v)(n) =u(n) +y(n)(1)乘法 (uv)(n) = u(n)μ(0) + C,u(n-l),(1) +... +Chu(n-k),(k) +.. + u(0),(n) - Echu(n-k),(k), (2)k=0其中 u(0)=u, v(0)=v.公式（2）称为莱布尼茨公式莱布尼茨（LeibnizG.W.1646-1716,德国前页后页返回

前页 后页 返回 (0) (0) 其中 u u v v = = , . 公式 (2) 称为莱布尼茨公式. 加法 ( ) . (1) (n) (n) (n) u  v = u + v 乘法 ( ) ( ) (0) 1 ( 1) (1) ( ) C n n n uv u v u v n − = + + + ( ) ( ) 0 C , (2) n k n k k n k u v − = =  ( ) ( ) (0) ( ) C k n k k n nu v u v − + + 莱布尼茨( Leibniz,G.W. 1646-1716, 德国 )

例4求y=xe的n阶导数例5求y=e'sinx的n阶导数x2, x≥0的高阶例6 讨论分段函数 f(x)=-x2, x<0,前页后页返回

前页 后页 返回 例5 e s in . x 求 y x = 的n阶导数 例4 2 e . x 求 y x = 的n阶导数 例6 讨论分段函数 的高阶 2 2 , 0, ( ) , 0, x x f x x x   =  − 

般参变量函数x=p (t),y=y(t),的二阶导数.这个函数的一阶导数为dyy'(t)dxp'(t)把它写成参数方程前页后页返回

前页 后页 返回 一般参变量函数 的二阶导数. 这个函数的一阶导数为 ( ), ( ), x t y t    =   = d ( ) , d ( ) y t x t    =  把它写成参数方程:

x =p(t),由此求得8-()-(/-(8)/p'(t),dy- y"(t)'(t)-y'(t)p"(t)即(4dx[g'(t)r返回前页后页

前页 后页 返回 ( ), d ( ) . d ( ) x t y t x t     =    =    2 2 d d d d d ( ) ( ) , d d d d d ( ) y y x t t x x x t t t              = = =                由此求得 3 d ( ) ( ) ( ) ( ) . (4) d [ ( ) ] y t t t t x t          − =  即