《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十七章 多元函数微分学 §2 复合函数微分法

s2复合函数微分法一、复合函数的求导法则二、复合函数的全微分前页后页返回

前页 后页 返回 §2 复合函数微分法 二、复合函数的全微分 返回 一、复合函数的求导法则

一、复合函数的求导法则定义 设函数x=(s,t) 与 y=y(s,t) 定义在st平面的区域D上,函数z=f(x,y)定义在xy平面的区域D上.若( (x,y) / x=p(s,t), y=y(s,t),(s,t)eD) cD则后页返回前页

前页 后页 返回 一、复合函数的求导法则 定义 设函数 x s t y s t = =   ( , ) ( , ) 与 定义   _ ( , ) ( , ) , ( , ), ( , ) , x y x s t y s t s t D D = =     _ xy平面的区域 D 上. 若 则 在 st 平面的区域 D 上, 函数 z f x y = ( , ) 定义在

称z = F(s,t)= f( p(s,t),y(s,t)), (s,t)e D为由z=f(x,y), x=(s,t) 与 y=y(s,t) 构成的复合函数其中 x=p(s,t) 与 y=(s,t)为内函数,z=f(x,y),为外函数(x,J）为中间变量,(s,t)为自变量返回前页后页

前页 后页 返回 的复合函数. 为由 z f x y = ( , ), x s t y s t = =   ( , ) ( , ) 与 构成 称 z F s t f s t s t s t D = =  ( , ) ( ( , ), ( , ) ) , ( , ) .   ( x, y ) 为中间变量,( s, t )为自变量. 其中 为内函数, x s t y s t = =   ( , ) ( , ) 与 = 为外函数, z f x y ( , )

定理17.5 若x=Φ(s,t),y=(s,t)在点(s,t)eD 可微,z=f(x,y)在点(x,y)=(p(s,t),y(s,t) 可微,则复合函数z=f(@(s,t),y(s,t))在点(s,t)可微，且关于s与t的偏导数分别为azOz0xOzdysas((s,t)A(4)azOzaxOzayott (s,t) Ox (x,y) at (st)Oy (x,y) at (s,t)后页返回前页

前页 后页 返回 定理17.5 若 x s t y s t = =   ( , ), ( , ) 在点 ( , ) s t D  可 微， z f x y = ( , ) 在点 ( , ) ( ( , ), ( , )) x y s t s t =   可微, 则 关于 s 与 t 的偏导数分别为 复合函数 z f s t s t = ( ( , ), ( , ) )   在点 ( , ) s t 可微，且 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , . s t x y s t x y s t s t x y s t x y s t z z x z y s x s y s z z x z y t x t y t      =  +            =  +       (4)

证 由假设x=p(s,t),y=y(s,t)在点 (s,t)可微,于axax是 Ax=(5)At + α,As + β,At,△s+atasayay(6)At+ α,As+ β,At,Ay=ASasat其中(△s,△t)→(0,0) 时(α,β,α2,β,)→(0,0,0,0)又由 z=f(x,y)在点(x,y)可微，故有Ozaz(7)Az△x+△y+αAx+βAy,二ayax前页后页返回

前页 后页 返回 是 2 2 , y y y s t s t s t      =  +  +  +    (6) 证 由假设 x s t y s t = =   ( , ), ( , ) 在点 ( , ) s t 可微, 于 1 1 , x x x s t s t s t      =  +  +  +    (5) ( , ) (0,0)   → s t 1 1 2 2 其中 时 ( , , , ) (0,0,0,0) .     → 又由 z f x y = ( , ) 在点 ( , ) x y 可微, 故有 , z z z x y x y x y      =  +  +  +    (7)

其中 (△x,A,y)→(0,0) 时, (α,β)→(0,0),并可补充定义:当△x=△y=0时,α=β=0现把(5),(6)两式代入(7)式，得到210(8小（%Az. =△s+At + α,As + β,At酒7ayay（%+/（At+ α,As+ β,At△s+asat后页返回前页

前页 后页 返回 现把 (5), (6) 两式代入 (7) 式，得到 1 1 z x x z s t s t x s t            = +   +  +  +  +            其中 ( , ) (0,0)   → x y 时， ( , ) (0,0),   → 并可补充 定义: 当  =  = x y 0 时,   = = 0. 2 2 . z y y s t s t y s t           + +   +  +  +            

整理后又得OzOxz.oyAs△z =ayasOx asOz oxazayAt+αAs+ βAt,(8)十axOy attoxOzOzoy一β+αα +βα2, (9)αayα+=αrαz+asasaxOzOzaxayβoxβ1β2atβ+αβ,+ββ,. (10)三+￥α+ayat前页后页返回

前页 后页 返回 整理后又得 1 2 1 2 , z z x y x y s s              = + + + + +     (9) , z x z y z s x s y s z x z y t s t x t y t          =  +                 +  +   +  +          (8) 1 2 1 2 . z z x y x y t t              = + + + + +     (10)

由于 β(s,t),y(s,t)在点(s,t)可微，因此它们在点(s,t)都连续，即当(△s,At)→(0,0)时，(△x,Ay)→)(0,0),从而也有(α,β)→(0,0),以及(α,βr,αz,β,)→ (0,0,0,0)于是在(9),(10)两式中,当(△s,△t)→(0,0)时,有(α,β）→(0,0).故由(8)式推知复合函数(3)可微并求得z关于s和t的偏导数公式(4)前页后页返回

前页 后页 返回 由于   ( , ), ( , ) s t s t 在点 ( , ) s t 可微，因此它们在点 ( , ) s t 都连续，即当 ( , ) (0,0)   → s t 时，( , )   → x y 1 1 2 2 ( , , , ) (0,0,0,0).     → ( , ) (0,0).   → 故由 (8) 式推知复合函数 (3) 可微， 并求得 z 关于 s 和 t 的偏导数公式 (4)． (0,0), 从而也有 ( , ) (0,0),   → 以及 于是在 (9), (10) 两式中, 当 ( , ) (0,0)   → s t 时, 有

公式（4）也称为链式法则注如果只是求复合函数f(p(s,t),y(s,t))关于s或t的偏导数,则上述定理中 x=p(s,t),y=y(s,t)只须具有关于s或t的偏导数就够了.因为以△s或△t 除(7)式两边,然后让△s→0 或 △t→0,也能得到相应的结果.但是对外函数的可微性假设是不能轻易省略的，否则上述复合求导公式就不一定成立.例如后页返回前页

前页 后页 返回 公式(4)也称为链式法则． 能轻易省略的, 否则上述复合求导公式就不一定成 立．例如 注 如果只是求复合函数 f s t s t ( ( , ), ( , ) )   关于 s 或 t 的偏导数, 则上述定理中 x s t y s t = =   ( , ), ( , ) 只 须具有关于 s 或 t 的偏导数就够了. 因为以 s 或 t 除  →s 0  →t 0, (7)式两边, 然后让 或 也能得 到相应的结果. 但是对外函数 f 的可微性假设是不

，+户+0,f(x,j)=/ x?+y2x2+y2=0.0,由 s1习题6 已知f,(0,0)=f,(0,0)=0,但f(x,y)在点(0,0)不可微.若以f(x,y)为外函数,x=t,y=t为内函数，则得到以t为自变量的复合函数z = F(t) = f(t,t) =2dz1有若形式地使用法则（4),将得出错误结论：2dt前页后页返回

前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y   +  =  +   + = = = = ( ) ( , ) , 2 t z F t f t t d 1 . (4), d 2 z t 有 若形式地使用法则 将得出错误结论:  为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数 (0,0) (0,0) 0, x y 由§1 习题 6 已知 f f = = 但 f x y ( , ) 在点 f x y ( , ) x t y t = = , (0,0)不可微. 若以 为外函数