《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十九章 含参量积分 §2 含参量反常积分

S 2 含参量反常积分与函数项级数相同，含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性在相应的一致收敛的条件下，含参量反常积分具有连续性，可微性，可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似前页后页返回

前页 后页 返回 §2 含参量反常积分 与函数项级数相同, 含参量反常积分的重 要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积 分具有连续性, 可微性, 可积性. 含参量反常 积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的 一致收敛性的判别法类似. 返回

一、含参量反常积分的一致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质四、含参量无界函数的反常积分前页后页返回

前页 后页 返回 四、含参量无界函数的反常积分 三、含参量反常积分的性质 二、含参量反常积分一致收敛性的判别 一、含参量反常积分的一致收敛性

一、含参量反常积分一致收敛性设函数f(x,J)定义在无界区域R=J×[c,+)上,其中J是任意区间.若VxEJ，反常积分(1)I(x) =(f(x, y)dy都收敛，则I(x)是J上的函数称(1)为定义在J上的含参量x的无穷限反常积分：或称含参量反常积分返回前页后页

前页 后页 返回 一．含参量反常积分一致收敛性 设函数 f x y ( , ) 定义在无界区域 R J c =  +  [ , ) 上, 其中 J 是任意区间. 若  x J , 反常积分 ( ) ( , )d (1) c I x f x y y + =  都收敛，则 I x J ( ) 是 上的函数. 称(1)为定义在 J 上的含参量 x 的无穷限反常积分, 或称含参量反常积分

定义1 若含参量反常积分(1)与函数I(x)对Vε>0,FN>c,使得当 M>N时，对一切xEJ,都有[" f(x, y)dy-I(x)<8,即[m (x, )dj<8,则称含参量反常积分(1)在J上一致收敛于I(x),或简单地说含参量积分(1)在J上一致收敛返回前页后页

前页 后页 返回 定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对    0 ,   N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J  , 都有 ( , )d ( ) , M c f x y y I x −    即 ( , )d , M f x y y  +   则称含参量反常积分(1)在 J 上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛

注1由定义,I(x)=(f(x,y)dy在J上一致收敛的充要条件是n(A) = sup (r f(x, y)dy) →0 (A → +0),XEJ注2 由定义,I(x)=[。(x,y)dy在J上不一致收敛的充要条件是3 >0, VM >c, 3A'>M及x,E J,[ f(x0, y)dy|≥8 .返回前页后页

前页 后页 返回 ( ) ( , )d c I x f x y y + = 注1 由定义,  在 J 上一致收敛的 充要条件是 ( ) sup ( , )d 0 ( ).  A  x J  A f x y y A +  = → → +  ( ) ( , )d c I x f x y y + =  注2 由定义, 在 J 上不一致收敛 的充要条件是 0 0         0, , , M c A M x J  及 0 0 ( , )d . A f x y y  +   

例1讨论含参量反常积分[xe*'dy,x e (0, +o0)0的一致收敛性,解 若x>0,令u= xy，则Jt xe"dy= ft e"du =eXA于是xe"dy=n(A) = supxe[0,+00后页返回前页

前页 后页 返回 例1 讨论含参量反常积分 0 e d , (0, ) xy x y x + −  +  的一致收敛性. 解 若 x u xy  = 0, , 令 则 e d e d e , xy u xA A xA x y u + + − − − = =   于是   [0, ) ( ) sup e d 1, xy A x  A x y + −  + = = 

因此，含参量积分在(0,+8)上非一致收敛而对于任何正数8，有[ xedy =e-84A →0 (A →+0),n(A) = supxE[8,+00) 因此，该含参量积分在[S,+)上一致收敛返回前页后页

前页 后页 返回 因此, 含参量积分在 (0, ) + 上非一致收敛.   [ , ) ( ) sup e d e 0 ( ), xy A A x A x y A    + − −  + = = → → +  因此, 该含参量积分在 [ , )  + 上一致收敛. 而对于任何正数  , 有

二、含参量反常积分一致收敛性的判别定理19.7(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是：ε>0,3N>c,使得当 A,A, >N 时,对一切的x ε[a,b],都有[ f(x, )d]0,3N>c,VA>N及xEJ, 有后页返回前页

前页 后页 返回 二．含参量反常积分一致收敛性的判别 定理19.7 (一致收敛的柯西准则)含参量反常积分(1) 在 [ , ] a b 上一致收敛的充要条件是:      0, , N c 1 2 使得当 A A N ,  时 x a b [ , ], , 对一切的 都有 2 1 ( , )d . (3) A A f x y y    证 必要性 ( ) ( , )d c I x f x y y + =  若 在 J 上一致收敛, 则         0, , , N c A N x J 及 有

.[(x, )dy-1(,因此, VA,A, >N,(x, )dx=(x, )dx-f(x, y)d<[ f(x, y)dx-I(x)+[ f(x, y)dx-1(x)88+-=822后页返回前页

前页 后页 返回 ( , )d ( ) , 2 A c f x y y I x  −   因此, 1 2   A A N , , 2 1 2 1 ( , )d ( , )d ( , )d A A A A c c f x y x f x y x f x y x = −    1 1 ( , )d ( ) ( , )d ( ) A A c c  − + − f x y x I x f x y x I x   . 2 2    + = 

充分性 若>0,N>c, VM=A, A, >N,[f(x, )<6.A得[m (x, y)d≤8.则令 A, →+8,得A这就证明了I(x)={f(x,y)dy 在 J上一致收敛.例2证明含参量反常积分o sin xy dy(4)Joy后页返回前页

前页 后页 返回 2 1 ( , )d . A A f x y y    则令 2 , ( , )d . M A f x y y 得  + → +   ( ) ( , )d c I x f x y y + =  这就证明了 在 J 上一致收敛. 例2 证明含参量反常积分 0 sin d (4) xy y y +  充分性 若 1 2      =   0, , , , N c M A A N