《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 不定积分 §2 换元积分法与分部积分法

S2换元积分法与分部积分法不定积分是求导运算的逆运算，相应于复合函数求导数的链式法则和来法求导公式，不定积分有换元积分法和分部积分法。一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法返回前页后页

前页 后页 返回 §2 换元积分法与分部积分法 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算, 相应 部积分法. 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 于复合函数求导数的链式法则和乘法 返回

一、第一换元积分法定理8.4（第一换元积分法）设 g (u)在[α, β)上有定义,且[ g(u)du=G(u)+C.又u=p(x)在[a,b]上可导,且α≤p(x)≤β, xe[a,b].则 J g(p(x)p(x)dx=J g(u)du= G(u)+C= G(β(x))+C. (1)证因为G(p(x) = G'(p(x))p(x)= g(p(x))p(x)dx所以(1)式成立后页返回前页

前页 后页 返回 定理8.4 (第一换元积分法) 设 在 上有定义， g u( ) [ , ]   = +  且 g u u G u C ( )d ( ) . 又u = (x)在[a,b]上可导，且  (x)   , x [a,b]. 则  =   g x x x g u u ( ( )) ( )d ( )d   = G(u) + C= + G x C ( ( )) . (1)  证 =   d ( ( )) ( ( )) ( ) d G x G x x x 因为    = g((x))(x). 一、第一换元积分法 所以(1)式成立

第一换元积分法亦称为凑微分法，即g(p(x)p'(x)dx = / g((x)dp(x)= G(p(x) +C,其中G(u)=g(u).常见的凑微分形式有(1) adx = d(ax);(2) dx = d(x +a);1(3) xdx = d(xa+); (4) cosxdx =d(sinx);α+1(5) sinxdx = d(-cosx); (6) Idx = d(In|x);dx(7) sec xdx = d(tanx); (8)I+x? = d(aretan x).后页返回前页

前页 后页 返回 第一换元积分法亦称为凑微分法, 即  = = +   g x x x g x x G x C ( ( )) ( )d ( ( ))d ( ) ( ( )) ,      (1) d d( ); a x ax = (2) d d( ); x x a = + 1 1 (3) d d( ); 1 x x x    + = + (4) cos d d(sin ); x x x = (5) sin d d( cos ); x x x = − 1 (6) d d(ln ); x x x = 2 (7) sec d d(tan ); x x x = 2 d (8) d(arctan ). 1 x x x = + 其中G u g u ( ) ( ). = 常见的凑微分形式有

dx求(a>0).例1福2+?a解dxXdu-arctanu+Ca?+Carctan-a返回前页后页

前页 后页 返回 例1 ( 0). d 2 2  +  a a x x 求 解         +       = + 2 2 2 1 d d 1 a x a x a x a x 2 1 d 1 u a u = +  u C a = arctan + 1 arctan . 1 C a x a = +

dx例2 求[(a ±0).2-adx解dx一-a222.00x+ad(x + a)d(x-a)2a2aJAx-ax+a20/m/x-a/-2In/x+al2a1xa一++C.n2ax+a后页返回前页

前页 后页 返回 例2 ( 0). d 2 2  −  a x a x 求 解   = −   − − +     2 2 d 1 1 1 d 2 x x x a a x a x a 1 d( ) 1 d( ) 2 2 x a x a a x a a x a − + = − − +  ln | | 2 1 ln | | 2 1 x a a x a a = − − + ln . 2 1 C x a x a a + + − =

例3求[xV1-dx.解 Jrvl-r'dx-(1-r)dce)--(1-)a(1-)-)ic-(l-r)i+c.前页后页返回

前页 后页 返回 例3 1 d . 2 x x x  求 − 解 ( ) 1 2 2 2 2 1 1 d 1 d( ) 2 x x x x x − = −   ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 d 1 2 = − − − x x  ( ) 3 2 2 1 2 1 2 3 = −  − + x C ( ) 3 2 2 1 1 . 3 = − − + x C

例4 求[sin’xdx.解军[ sin'xdx- sin'xsinxdx--f(1-cos’ x)dcosx1.-cosx+C=-cosx+-3dx例5求xlnxdxd(ln x)= In In x| + C.解xlnxInx返回前页后页

前页 后页 返回 解 3 2 sin d sin sin d x x x x x =   = − −  2 (1 cos )dcos x x 1 3 cos cos . 3 = − + + x x C 例5 . ln d  x x x 求 解 d d(ln ) ln ln x x x x x =   = + ln ln . x C 例4 sin d . 3  求 x x

例6 求 sec xdx.d(sinx)cosx解（解法一）「secxdx =dx --sin'xcosx+ sinx+C.-sinxsecx(secx+tanx（解法二）sec xdx =dxsecx + tanxd(sec x + tanx)- In I sec x + tan x I +C.secx + tanx后页返回前页

前页 后页 返回 1 1 sin ln . 2 1 sin x C x + = + − (解法二) sec (sec tan ) sec d d sec tan x x x x x x x x + = +    + + = x x x x sec tan d(sec tan ) = ln |sec x + tan x | +C. 解 (解法一) = −  2 d(sin ) 1 sin x x  sec dx x =  2 cos d cos x x x 例6 sec d .  求 x x

二、第二换元积分法定理8.5（（第二换元积分法）若 g(u)在[α,β]上有定义,u=(x)在[a,bl上可导p(x) ± 0, 且[ g(p(x)p(x)dx = F(x)+C,则I g(u)du= F(p '(u) +C.(2)证在p(x)±0 的条件下, 必有 β(x)>0 , x[a,b]或 β'(x)<0, xe[a,b]. 因此u=(x)是严格单调函数,从而u=@(x)存在反函数x=@(u),且前页后页返回

前页 后页 返回 定理8.5 (第二换元积分法) 若 在 上有定义 g u( ) [ , ] ,   u = (x)在[a,b] 上可导, − = +  1 则 g u u F u C ( )d ( ( )) . (2)  证 在 的条件下 ( ) 0 , x  必有( ) 0 , [ , ] x x a b   或( ) 0, [ , ]. x x a b   因此 是严格单调 u x = ( ) 1 u x x u   ( ) ( ), − 函数,从而 = = 存在反函数 且 二、第二换元积分法 ( ( )) ( )d ( ) ,  ( ) 0, x  且 g  x  x x = F x +C

dx1dup'(x)x=@-"(u)1dd-F(β (u)= F(x)于是dxp'(x)1g(u),= g(p(x))p'(x)p'(x)所以(2)式成立第二类换元积分法常用在f(a2-x),f(a2+x)f(x2-a")等类型的不定积分上，对此可分别设x=asint,x=atant,x=asect.后页返回前页

前页 后页 返回 1 ( ( )) ( ) ( ), ( ) g x x g u x    =  =   f x a − 2 2 ( ) 等类型的不定积分上, 对此可分别设 x = asin t, x = atant, x = asec t. ( ) 1 ( ( )) ( ) d d 1 x F u F x x    =   − 于是 1 ( ) d 1 . d ( ) x u x u x   − = =  第二类换元积分法常用在 ( ), 2 2 f a − x ( ), 2 2 f a + x 所以(2)式成立