《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第九节 重积分变量变换公式的证明

*S9 重积分变量变换公式的证明本节将给出在x=x(u,v),=y(u,v) 具有一阶连续偏导数的条件下，重积分变量变换公式（定理21.13的一般证明。前页后页返回

前页 后页 返回 本节将给出在 具有 一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量 变换公式(定理21.13)的一般证明. x x u v y y u v = = ( , ), ( , )  §9 重积分变量变换公式的证明 返回

证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理引理设变换T :x, =p,(xi,x,) (i=1,2)将xx,平面上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域D'一对一地变换成x,x,平面上的闭域 D.又设 ;(xi,x,)(i=1,2)在 D'上具有一阶连续偏导数,并且J(x,x,')=((g,9)+0, (xi,x,) e D'a(xi,x,)若 △'为 D'内边长为 h 的任一正方形，△=T(△)后页返回前页

前页 后页 返回 ( 1,2) i = 在 D 上具有一阶连续偏导数,并且 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 0, ( , ) . ( , ) J x x x x D x x        =       若  为 D 内边长为 h 的任一正方形，   =T( ),  证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理 设变换 1 2 : ( , ) ( 1,2) T x x x i i i = =    将   1 2 x x 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一 地变换成 1 2 x x 平面上的闭域 D . 又设 1 2 ( , ) i  x x  

那么成立关系式μ(△) =I J(x’,x,) I μ(△) +O(h’o(h))(1)(I O(h’w(h) < C / h w(h) D),其中(x,x,)为△'的某一顶点,C为与 h及 △在D'中的位置无关的常数，μ(△)与μ()分别表示区域△与 △'的面积o(h) = sup ,(h),i,j-1,2a~,9,(xi,x,)在 D'上的连续模,即の,(h) 是ox j后页返回前页

前页 后页 返回 那么成立关系式 2 1 2    ( ) | ( , ) | ( ) ( ( ))   J x x O h h   = +  2 2 (| ( ( )) | | ( ) |), (1) O h h C h h    的位置无关的常数， ( )  与 ( )  分别表示区域  与  的面积, = = , 1,2 ( ) sup ( ), ij i j   h h ( ) ij h 是      1 2 ( , ) i j x x x  在 D 上的连续模, 即 其中   1 2 ( , ) x x 为  的某一顶点,C 为与 h及  在 D 中

aW;(h) = supDaxji这里上确界是对所有(xi,x,),(x",xz")e D'满足条件 /(x, -x") +(x’ -x")<h 而取的.证不妨设正方形△'=[,’+]x[,,,+h],四个顶点: P'(x",x,), A'(x + h,x, ), C(x, + h,x, +h)与 A,(x,x,’ +h) (图21-44). 于是 △=T(△) 是 D内的曲边四边形 PA,CA2(图21-45),且是一个闭域后页返回前页

前页 后页 返回 1 2 1 2 ( ) sup ( , ) ( , ) , ij i i j j h x x x x x x          = −               这里上确界是对所有 1 2 1 2 ( , ),( , ) x x x x D       满足条 顶点: 1 2 P x x ( , ),    1 1 2 A x h x ( , ),    + 1 2 C x h x h ( , )    + + 2 2 1 1 2 2 件 ( ) ( ) x x x x h     − + −  而取的. 证 不妨设正方形      = +  + 1 1 2 2  [ , ] [ , ], x x h x x h 四个 2 1 2 与 A x x h ( , )    + (图21-44). 于是   =T( ) 是 D 内的曲边四边形 (图21-45), 且是一个闭域, PA CA 1 2

其中(P,A,C,A)=T(P',A',C',A,),△'的边界 T则映为△ 的边界.设点 P的坐标为(xi,x,)x2↑X2A21hCA2CAA'PCA0Ax'文0图 21-45图21-44对△内任一点Q(x,x,),记 Q(x,x)=T(Q). 由于P;(xi,x,)(i=1,2)在 D'上连续可微,故由多元函数后页返回前页

前页 后页 返回 1 x  A1  图 21 44 −  C P O 2 x  A2  对  内任一点 Q x x ( , ), 1 2   记 Q x x T Q ( , ) ( ). 1 2 =  由于 1 x 图 21 45 − C P O 2 x A2  A1 A1  C  A2  其中  1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ), P A C A T P A C A   =    的边界 则映为 的边界 . 设点 P 的坐标为 1 2  ( , ). x x i ( , ) ( 1,2) x x i 1 2   = 在 D 上连续可微, 故由多元函数

微分中值定理,存在点(5i,5i2)e△,使得a9;(5i1,Si2)(x) -x)) +X, =x, +一79ax'a(2)g(%%-) (1=12)1其中 别位于 x,与x,(i=1,2;j=1,2) 之间下面考虑从xx,平面到xx,平面的线性映照T*：若 Q'(xi,x,) e D',则 T*(Q)=Q"(x%,x), 其中后页返回前页

前页 后页 返回 微分中值定理, 存在点 ( , ) ,   i i 1 2    使得 1 2 1 1 1 ( , )( ) i i i i i x x x x x     = + − +       1 2 2 2 2 ( , )( ) ( 1,2), (2) i i i x x i x         − =   其中 位于 与 之间. ij  j x ( 1,2; 1,2) j x i j  = = 下面考虑从 x x1 2   平面到 x x1 2 平面的线性映照 T :    Q x x D   ( , ) 1 2  ,则 1 2 T Q Q x x ( ) ( , ),  若     = 其中

ax=+最9(可,)对-对)+a(3)P;(,x)(x -x) (i = 1,2)ax.由解析几何知道,在映照T*下,正方形么被映照成平行四边形PA"C"A",其中 A",C",A’ 分别为A',C',A'在映照T*下的象(图21-45).记这平行四边形为△它的边界为"由(3)式知 △"的两条边 PA'(i=1,2)的长分别为I PA'I= ha,后页返回前页

前页 后页 返回   = + − +       1 2 1 1 1 ( , )( ) i i i x x x x x x x  1 2 2 2 2 ( , )( ) ( 1,2). (3) i x x x x i x       − =   由解析几何知道, 在映照 T  下,正方形  被映照成平 行四边形 PA C A 1 2    , 其中 A C A 1 2  , ,   分别为    1 2 A C A , , 由(3)式知  的两条边 PA i i ( 1,2) = 的长分别为 | | , PA ha i i  = 的边界为 . 在映照 T  下的象(图21-45).记这平行四边形为  , 它

其中10a+(i=1,2),9(x.P2Coa; =ar下面来估计点Q=T(Q)与点Q"=T*(Q)之间的距离. 由 (2) 及 (3) 式有a2p(x,)(x-对)+P.x,-X, =12axax;0aP,(x,x) (x, -x)(i=1,2)Dax,ax前页后页返回

前页 后页 返回 其中 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( 1,2). i i i a x x x x i x x           = + =                       下面来估计点 Q T Q = ( ) 与点 Q T Q( ) 之间的距    = 离. 由 (2) 及 (3) 式有 1 2 1 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( ) i i i i i i x x x x x x x x          − = − − +               1 2 1 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( 1,2). i i i i x x x x i x x               − − =        

从而由の(h）的定义可得[ x, - x) /<≤0(/2h)h + 0(/2h)h ≤ 40(/2h)h.因此Q与Q"之间的距离p(Q,0") = /(x-x,)° +(x" -x,) ≤6(h)h. (4)记2=6の(h)h,则由(4)式可见点Q属于点Q"的闭邻域 U(Q",2). 令W-U u(Q",a),g"er"后页返回前页

前页 后页 返回 从而由 ( ) h 的定义可得 | | ( 2 ) ( 2 ) 4 ( 2 ) . i i x x h h h h h h −  +      因此 Q 与 Q 之间的距离 2 2 1 1 2 2   ( , ) ( ) ( ) 6 ( ) . (4) Q Q x x x x h h    = − + −  记   = 6 ( ) h h ,则由(4)式可见点 Q 属于点 Q 的闭邻 域 U Q( , ).   令    = ( , ),  Q W U Q  

则 W 的面积 μ(W)不会大于四个圆心在"的顶点，半径为的圆A"IW的面积和四个以”的各边为底边,高为2的图21-46矩形面积之和(图21-46),即μ(W)≤ 4元? +2Z2a,h≤ kh'o(h),(5)i-1后页返回前页

前页 后页 返回 图 21 46 − C   P  \W Y A2  A Y 会大于四个圆心在  的顶点, 半径为  的圆 的面积和四个以  的 矩形面积之和(图21-46), 2 2 2 1 ( ) 4 2 2 ( ), (5) i i     W a h kh h =  +   则 W 的面积 ( ) W 不 各边为底边, 高为 2 的 即