《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 函数极限 §4 两个重要的极限

S4 两个重要的极限sinxJimx-0xliml1-X>00返回前页后页

前页 后页 返回 §4 两个重要的极限 0 sin lim 1 x x → x 一、 = 二、 1 lim 1 e x x→ x     + =   返回

sinxlim3Xx-→0sinx命题1lim1xx-→0元证因为 0<xsinx<x< tanx所以21(1)1<Lsin xcosx不等式中的三个表达式均是偶函数，故当元0<|xl<=时,(1)式仍成立.2返回前页后页

前页 后页 返回 . (1) cos 1 sin 1 x x x   不等式中的三个表达式均是偶函数, 故当 证 π sin tan 0 , 2 x x x x           因为 所以 命题1 1 . sin lim 0 = → x x x 0 sin lim 1 x x → x 一、 = π 0 | | 1 2   x 时,( )式仍成立

1x=1= 1, 所以 lim因为 lim 1 = limx-0 sinxx-0x-0cosxsin x=1lim即Lxx-0sinx例1求隆limX→元X-元解 令 t=x-元, sinx=sin(t+元)=-sint, 所以sinxsintlimlim-1t-→0tXX—元返回前页后页

前页 后页 返回 π 0 sin sin lim lim 1. x t π x t → → x t − = = − − 解 令 t x x t t = − = + = − π, sin sin π sin , ( ) 所以 1 . sin lim 0 = → x x 即 x 因为 1，所以 cos 1 lim 1 lim 0 0 = = x→ x→ x 1 , sin lim 0 = → x x x 例1 求 π sin lim . x π x → x −

arctanx例2 求limAxx-0t=arctanx, x =tant, 则解令arctanxlimlimlim cost = 1limx t-→0 sint t-→0x-→0t-0 tant1-cosx求lim例3x-01-2x22sinsin21-cosx解limlimlimtXx22x-→0x-0x-→0-2后页返回前页

前页 后页 返回 例2 . arctan lim 0 x x x→ 求 lim cos 1 . sin lim tan lim arctan lim 0 0 0 0 =  = → → → → t t t t t x x x t t t ＝ 解 令 t = arctanx, x = tant, 则 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 例3 求 解 2 2 0 2 2sin lim x x x→ = . 2 1 = 2 0 1 cos lim x x x − → 2 0 2 2 sin 2 1 lim           = → x x x

二、(1+)-lim(1+))命题2=exx00l证我们只需证明：lim(1+)im.(1+)) -e.=e 和-x-→+00lXx-80设两个分段函数分别为：(c)-(1+#+),n≤x<n+1, n=1, 2,..;后页返回前页

前页 后页 返回 e . 1 lim 1  =      + → x x x 命题2 e 1 lim 1  =      + →+ x x x e . 1 lim 1  =      + → − x x x 和 证 我们只需证明： ( ) , 1, 1, 2, ; 1 1 1    + =       + = + n x n n n f x n 设两个分段函数分别为: 1 lim 1 e x x→ x     + = 二、  

g(a)-(1+)n≤x<n+1, n=l,2,...显然有()s(+)≤g(x), x e[1, + 00) .因为(s)-lim(1+n+1lime二x-→+0n+n+1im g(t) lim(1+))=e,X-+8后页返回前页

前页 后页 返回 ( ) , 1, 1, 2, . 1 1 1    + =       = + + n x n n n g x n 显然有 ( ) ( ), [1, ) . 1 1    +        + g x x x f x x ( ) e, 1 1 lim lim 1  =      + = + →+  → n x n n f x ( ) e, 1 lim lim 1 1  =      = + + →+  → n x n n g x 因为

所以由函数极限的迫敛性，得到(2)lim1+)=ex+o0当x0,则(+)-(-)-(+)因为当x→-80 时，y→+o0,所以后页返回前页

前页 后页 返回 e. (2) 1 lim 1  =      + →+  x x x 当 x  0时, 设 x = − y , y  0, 则 所以由函数极限的迫敛性，得到 . 1 1 1 1 1 1 1 x y y x y y       −  = +       = −      + − 因为当 x → − 时，y → +, 所以

m(+)-Jm(+)(-)-.这就证明了m+)-e.x80注 若令1=1,则x-→8 时, t-→0. 由此可得Xlim (I+t)'=e.(3)在实际应用中，公式（2）与（3）具有相同作用返回前页后页

前页 后页 返回 e . 1 lim 1  =      + → x x x 这就证明了 lim (1 ) e. (3) 1 0 + = → t t t 注 , , 0 . 1 = x →  t → x 若令 t 则 时 由此可得 在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用. e . 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1  =      −  +      −  = +      + − →−  x →+  y y y y x x

1例4 求lim(1 + 2x)*x-0解由公式(3),m(1+2x)=m[(1+2x)=c,(-)求lim例5Rn(+-)<(1+)解 因为nz（+）（）-（R返回前页后页

前页 后页 返回 解 由公式 (3), lim (1 2 ) lim (1 2 ) e . 2 2 2 1 0 1 0 =       + = + → → x x x x x x . 1 1 lim 1 2 n n n n       + − →  例5 求 解 因为 , 1 1 1 1 1 2 n n n n n         +      + − 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 − − −       −  = +      + − n n n n n n n n n . 1 1 2 1 2 2 − −       −  + n n n n 例4 x x x 1 0 lim(1+ 2 ) → 求

n-而im(1+)=e,→0，所以由归结原则n282lim1+"-）=e1再由迫敛性，求得1m(1+)前页后页返回

前页 后页 返回 而 ＝ 0, 所以由归结原则， 1 e, 1 lim 1 2 → −       + → n n n n n e. 1 lim 1 1 2 2  =      − + − → n n n n n e. 1 1 lim 1 2  =      + − → n n n n 再由迫敛性, 求得