《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理

S1关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理二、聚点定理与有限覆盖定理返回前页后页

前页 后页 返回 一、区间套定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 §1 关于实数集完备性的基本定理

一、区间套定理定义1设闭区间列([a,,b,J}满足如下条件：1. [a,, b,]-[ant, bu+il , n =1, 2, ...,2. lim(b, -a,) =0 ,n-→8则称{a,b,为闭区间套,简称区间套返回前页后页

前页 后页 返回 定义1 n n 设闭区间列 满足如下条件 {[ , ]} : a b 1 1 1. [ , ] [ , ] , 1, 2, , n n n n a b a b n  = + + 2. lim( ) 0 , n n n b a →  − = {[ , ]} , . n n 则称 a b 为闭区间套 简称区间套 一、区间套定理

定义1中的条件1知：a,≤a,≤...≤a.≤...≤b,≤..≤b,≤b.前页后页返回

前页 后页 返回 定义1 中的条件1 知： 1 2 2 1 . n n a a a b b b        

定理7.1(区间套定理)若({[a,,b,I是一个区间套则存在唯一的实数，使E e[a,, b,l, n=1, 2, ...8(5) =[an, b, 1.或者n=1[E 15...b..b....b,b.aa, ...anan+..前页后页返回

前页 后页 返回           n n+ a a a a 1 2 1 n n + b b b b 1 2 1 定理7.1(区间套定理) {[ , ]} , n n 若 a b 是一个区间套 则存在唯一的实数  , 使 [ , ], 1, 2, , n n   = a b n 或者 { } [ , ]. 1   = = n  an bn                   x 

证 由定义1的条件1可知,数列;a,递增,有上界bi.所以由单调有界定理,可知(a的极限存在设5=liman,→00从而由定义1的条件2可得limb, = lim(b, -a,)+ lima, = n0返回前页后页

前页 后页 返回 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an }递增, 有上界 b1.所以由单调有界定理, 可知 {an } 的极限存在. 从而由定义1 的条件2 可得 lim = lim( − ) + lim =  . → → → n n n n n n n b b a a lim , n n a → 设  =

因为 (a,递增,(b,递减,所以an≤≤bn,这样就证明了的存在性下面来证明唯一性.设也满足an≤5≤bn,那么/-5/<b, -a,→0. 即 =5i,惟一性得证返回前页后页

前页 后页 返回 因为 {an } 递增, {bn } 递减, 所以 , an    bn 下面来证明唯一性. 设 1 也满足 , n 1 n a    b 这样就证明了  的存在性. 1 那么   −  − → 1 b a n n 0. 即  = , . 惟一性得证

推论设([an,b)是一个区间套，[an,b,l,n=1,2,.……. 则任给ε>0, 存在 N,当 n ≥N 时,[an,b,/cU(5;),前页后页返回

前页 后页 返回 [ , ] ( ; ). n n a b U    n = 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n  N 时, 推论 设 {[an ,bn ]} 是一个区间套, [ , ], n n   a b

证由区间套定理的证明可得：lima, = limb, = 5.n→0n0o由极限的保号性，对于任意正数ε.存在N当n≥N时,有5-e<a,,b,<5+s即 -<a,≤b,<+8,这就是说[an, b,Ic(5-8, 5 +),后页返回前页

前页 后页 返回 证 由区间套定理的证明可得: lim lim . n n n n a b  → → = = 由极限的保号性, 对于任意正数  , 存在 N, n n [ , ] ( , ). a b  − +     当 时 有 n N  , , . n n     −   + a b n n 即     −    + a b , 这就是说

注1该推论有着很强的应用价值，请大家务必牢记注2区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结(显然论不一定成立.例如对于开区间列前页后页返回

前页 后页 返回 注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然 1 0 n            

1 (0元)-(0) "-1, , m(10)-0.2.但是定理1中的是不存在的，这是因为(0.,)-0.前页后页返回

前页 后页 返回 但是定理1中的是不存在的, 这是因为 1 1 0, . n n  =     =    1 1 1. 0, 0, , 1, 2, , 1 n n n          =     + 1 2. lim 0 0. n→ n     − =  