《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十四章 幂级数（习题课）

第十四章幂级数习题课

第十四章 幂级数 习题课

1、幂级数(1)定义R8Z形如an(x－x)"的级数称为幂级数n=080Z当x,= 0时,a,xn=0其中a,为幂级数系数

(1) 定义 形如 n n an (x x ) 0  0 = − 的级数称为幂级数. 0 , 当 x 0 = 时 其中 a n为幂级数系数. 1 、 n n n  a x = 0 幂级数

(2) 收敛性定理1（Abel定理8Za,x"在x=x(x ±0)处收敛,则如果级数n=0它在满足不等式xx的一切 处发散

如果级数  n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x  x0 的一切x 处发散. 定理 1 (Abel 定理) 如果级数  n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0  处收敛,则 它在满足不等式 x  x0 的一切x 处绝对收敛; (2) 收敛性

推论80如果幂级数a,x"不是仅在x=0一点收敛, 也n=0不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：当xR时,幂级数发散;当x =R与x =-R时,幂级数可能收敛也可能发散

如果幂级数  n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x  R时,幂级数绝对收敛; 当 x  R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论

定义：正数R称为幂级数的收敛半径幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间8a,x"的所有系数an0,定理 2如果幂级数n=0an+1设 lim^/lan=p(或lim=p)2n-→8an1(1) 则当p≠0时,R ==; (2)当p= 0时,R=+80;p(3) 当p= +时,R=0

定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 定理 2 如果幂级数  n=0 n an x 的所有系数an  0, 设 =  → n n n lim a (或 =  + → n n n a a 1 lim ) (1) 则当  0时,  = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ;

(3)幂级数的性质a.代数运算性质设a,x"和b,x"的收敛半径各为R,和R,n=0n=0R = min(R,R,}加减法888Za,x"tZxe(-R,R).x"-E?bCnx".n=0n=0n=0(其中 cn=an±bn)

a.代数运算性质: 加减法    =  =  0 n 0 n n n n an x b x . 0   = = n n cn x (其中 R = minR1 ,R2 ) n an bn c =  x (− R,R) , 1 2 0 0 a x b x R R n n n n n 设 n 和 的收敛半径各为 和  =  = (3)幂级数的性质

乘法8e8(Za,x").(Ztb,x")-Zc,x".xe(-R,R)n=0n=0n=0(其中 cn = ao ·b, +a, ·bn- +...+an·b,)

乘法 ( ) ( ) 0 0    =  =  n n n n n an x b x . 0   = = n n cn x x (− R,R) (其中 ) a0 b a1 b 1 a b0 cn n n n =  +  + +  − 

b.和函数的分析运算性质：80幂级数a,x"的和函数s(x)在收敛区间n=0(-R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续+幂级数a,x"的和函数s(x)在收敛区间n=0(-R,R)内可积,且对Vx E(-R,R)可逐项积分数a,x"的和函数s(x)在收敛区间幂级数n=0(-R,R)内可导，并可逐项求导任意次

b.和函数的分析运算性质: 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续. 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内可积,且对x (−R,R)可逐项积分. 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内可导, 并可逐项求导任意次

2、幂级数展开式(1) 定义如果,f(x)在点x,处任意阶可导,则幂级数'(xo)Zx-x)"称为f(x)在点x,的泰勒级数n!n=08r(n) (0)2x"称为f(x)在点x=0 的麦克劳林级数n!n=0

2、幂级数展开式 如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )  −  = 称为 f (x)在点x0的泰勒级数. n n n x n f   =0 ( ) ! (0) 称为f (x)在点x = 0的麦克劳林级数. (1) 定义

(2) 充要条件定理f(x)在点x,的泰勒级数,在U(x)内收敛于 f(x)台在U(x)内lim R,(x)=0.n→8(3) 唯一性定理如果函数f(x)在Us(x)内能展开成(x-x)8的幕级数, 即 f(x)=Ea,(x-xo)",n=01则其系数 n=(n = 0,1,2,...)一且展开式是唯一的

定 理 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . (2) 充要条件 (3) 唯一性 定 理 如果函数 f (x)在 ( ) 0 U x  内能展开成( ) 0 x − x 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 =  −  = , 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 且展开式是唯一的