《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十六章 多元函数的极限与连续 §3 二元函数的连续性

83二元函数的连续性一．三元函数连续性的概念1.f关于集合D在点P.连续设f为定义在点集DcR2上的二元函数Po D. 对于 Vε>0, 总存在相应的正数 s, 只要PU(P,)ND,就有f(P)-f(P)<,则称f关于集合D在点P.连续

为定义在点集 §3 二元函数的连续性 一. 二元函数连续性的概念 1. f D 关于集合 在点P0 连续. 设 f 2 D R  上的二元函数, 0 p D . 对于    0, 总存在相应的正数  , 只要 P U P D f P f P  −  ( 0 0 , , ,   ) 就有 ( ) ( ) 则称f D 关于集合 在点 0 P 连续

2.连续函数：若f在D上任何点都关于集合D连续，则称f为D上的连续函数.由上面的定义可以知道：如果P,是D的聚点,而 lim f(P)=f(P),(Pe D时)不成立，则称P为f的不连续点（或间断点）特别当上式左边极限存在但不等于f(P)时，P是f的可去间断点

若f在D上任何点都关于集合D连续,则称f 为D上的连续函数.由上面的定义可以知道: 如果P D 0 是 的聚点， ( ) ( ) ( ) 0 0 lim P P f P f P → 而 =  , P D时 P0 不成立，则称 为f的 不连续点(或间断点). 2.连续函数: 特别当上式左边极限存在但不等于 f P( 0 )时， P f 0 是 的 可去间断点

设 P(xo, yo),P(x,y)eD,△x =x-Xo,Ay= y-yo则称 z=f(xo,yo)=f(x,y)-f(xo,)= f (xo + △x, yo +Ay) - f(xo, yo)为函数f在点P,的全增量

= +  +  − f x x y y f x y ( 0 0 0 0 , , ) ( ) 为函数f P 在点 0 的 全增量 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , , P x P x y D x x x y y y z f x y f x y f x y   = −  = −  =  = − 设 ， 0 y 则称