《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第九章 定积分

S1定积分的概念在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限：.Zf(5,)Ax,limT0i=1这类特殊极限问题导出了定积分的概念前页后页返回

前页 后页 返回 §1 定积分的概念 在很多数学和物理问题中，经常需要 求一类特殊和式的极限: 这类特殊极限问题导出了定积分的概念. 返回 0 1 lim ( ) , T n i i i f x   → =

三个典型问题1. 设 y=f(x),xe[a,bl, 求曲边梯形A 的面积S(A), 其中A=((x, y)/xe[a, bl, 0≤y≤f(x)Vy= f(x)S(A)福br返回前页后页

前页 后页 返回 A x y x a b y f x =    ( , ) | [ , ] , 0 ( ) .  三个典型问题 1. 设 y f x x a b =  ( ) , [ , ], 求曲边梯形 A 的面积 S (A), 其中 y O x y = f (x) S A( ) a b

2.已知质点运动的速度为v(t),te[a,bl.求从时刻a到时刻b.质点运动的路程s3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为p(x),xe[a,bl,求线状物体的质量m显然，当 f(x)=c为常值函数时，S(A)=c(b-a);当v(t)=v为匀速运动时，s=v(b-a);当质量为均匀分布时,即 p(x)=p为常数时, m=p(b-a)这就是说，在“常值”、“均匀”、“不变”白的情况前页后页返回

前页 后页 返回 2. 已知质点运动的速度为 v t t a b ( ) , [ , ].  求从时刻 3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 (x) , x [a,b], 求线状物体的质量 m . 显然, 当 f x c S A c b a ( ) ( ) ( );  = − 为常值函数时， 0 当v t v ( )  0 为匀速运动时, s v b a = − ( ); 当质量为 均匀分布时，即   ( )  x 为常数时, m = (b − a). 这就是说,在“常值” 、 “均匀” 、 “不变” 的情况下， a 到时刻 b,质点运动的路程 s

可以用简单的乘法进行计算，而现在遇到的问题是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形解决这些问题呢？以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合理地归为一类特殊和式的极限中心思想：把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替后页返回前页

前页 后页 返回 可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 中心思想： 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形， 如何来解决这些问题呢？ 合理地归为一类特殊和式的极限. 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替

代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.V一分为二y= f(x)S(A)bxO1XI返回前页后页

前页 后页 返回 代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的 一分为二 时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面 积. y O x y = f (x) S A( ) a b 1 x

一分为四y= f(x)S(A)axxxbx0返回前页后页

前页 后页 返回 一分为四 y O x y = f (x) a x1 x2 x3 b S A( )

一分为八y=f(x)S(A)Xf b xOaxx返回前页后页

前页 后页 返回 一分为八 y O x y = f (x) a x1 x3 x8 1− b S A( )

一分为ny= f(x)---x0x-,bax,x-ix,5,可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积。返回前页后页

前页 后页 返回 一分为 n 可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形 的面积. y O x y = f (x) a x1 b i xi−1 x n 1 x − i  S A( )

定义l 设f是定义在[a,bl上的函数，JeR.若V>0,38>0.对任意分割T :a, =x,<x,<...<x, =b,及任意5, e[x,-1,x,],i=1,2,..,n,当T=max(Ax,}<8时,必有Z(5,)Ax,-1<6,i=1则称f在[a,b]上可积，并称J为f在[a,b]上的Zr(5,Ax.定积分,记作J=「f(x)dx=limT0i=-1后页返回前页

前页 后页 返回 定义1 设 f a b J 是定义在[ , ] R. 上的函数，  0 0 1 : , T a x x x b =    = n 若       0 0, ， 对任意分割 则称 f a b 在[ , ]上可积， 并称 J 为 f 在 [a,b]上的 及任意  i i i  =  x x i n −1 , , 1,2, , ,  0 1 ( )d lim ( )Δ . n b a T i J f x x f x i i  → = 定积分,记作 =  =  当 T x =  max i  时,必有 1 ( ) , n i i i f x J    =  − 

T'x'dx.例1 求FO返回前页后页

前页 后页 返回 1 2 0 求 x xd . 例  1