《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第九章 定积分 §4 定积分性质

定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）若f在[a,b]上有界，且只有有限多个间断点，则f在[a,b]上可积前页后页返回

前页 后页 返回 定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积） f 在 [a, b] 上可积. 若 在 上有界，且只有有限多个间断点，则 f a b [ , ]

S 4 定积分的性质本节将讨论定积分的性质，包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理，这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具一、定积分的性质二、积分中值定理前页后页返回

前页 后页 返回 §4 定积分的性质 一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质, 包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理, 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 二、积分中值定理 返回

一、定积分的性质性质1若f在「a,bl上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积,且[kf(x)dx=k[" f(x)dx.证 记 J=[' f(x)dx. 由于 在[a, b]上可积, 故V>0,38>0,当|T<8时,对一切5, [x-1,x,l,82(5,)Ax,-A1+1i=1从而后页返回前页

前页 后页 返回 [ , ] ( )d ( )d . b b a a 在 上也可积，且 a b k f x x k f x x =   证 ( )d . b a 记 J f x x =  由 在 上可积 故 f a b [ , ] , 一、定积分的性质 1 0, 0, [ , ], T x x i i i           当 时,对一切 − 1 ( )Δ . 1 n i i i f x J k   = −  +  从而 性质1 若 f 在 [ a,b ] 上可积，k 为常数, 则 k f

n1Zkf(5,)Ax,-kJ-(klf(5,)Ax; -Ji1i18<k<8.k/+1因此 kf 在[a, b] 可积, 且[kf(x)dx=k[ f(x)dx前页后页返回

前页 后页 返回 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i k f x kJ k f x J   = =   − = − 因此 kf a b 在[ , ] , 可积 ( )d ( )d .   = b a b a 且 kf x x k f x x . 1 k k     +

性质2若f,g在[a,b]上可积,则f±g在[a,b]上可积, 且 I'(f(x)±g(x)dx=I' f(x)dx±[' g(x)dx.证记 J,=, f(x)dx, J,=[,g(x)dx. 于是 Vs>0,38>0, 当 T<8时,V5, e[x,-1,x,l, i=1,2, ",n,2(5)4x,-g(5)4x,-1号后页返回前页

前页 后页 返回 性质2 若 在 上可积 f g a b , [ , ] , 则 在 上 f g a b  [ , ] 可积, 且 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x  =     证 1 2 ( )d , ( )d . b b a a J f x x J g x x = =    记 于是 0,   1 0, [ , ], 1,2, , , T x x i n i i i         = 当 时， − 1 1 ( )Δ , 2 n i i i f x J   =  −  2 1 ( )Δ . 2 n i i i g x J   =  − 

从而E( f(5)± g(5,)1Ax, -(J, ± J,)i=1E(5,)Ax,-J, +Eg(5,)Ax,-,≤i=1i=1888.三22因此，f土g在「a,bl上可积,且['(f(x)± g(x)dx=I' f(x)dx+ f, g(x)dx.后页返回前页

前页 后页 返回 从而 1 2 1 [ ( ) ( ) ]Δ ( ) n i i i i f g x J J   =   −  1 2 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i f x J g x J   = =  − + −   . 2 2    + =  因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x  =    

性质3若f,g在[a,b]上可积，则fg在[a,b]上也可积。证 因 f,g在[a,b]上可积,故在[a,b]上都有界,即 M >0, Vxe[a,bl, f(x)/≤M, g(x)/≤M8V>0,存在分割T,使Ax又存在分2MT8割T"，使之wAx2MT"后页返回前页

前页 后页 返回 性质3 若 f g a b f g a b , [ , ] [ , ] 在 上可积，则 在 上 证 因 在 上可积，故在 上都有界, f g a b a b , [ , ] [ , ] 即       M x a b f x M g x M 0, [ , ], ( ) , ( ) . 0, , Δ ; 2 f i i T T x M    存在分割 使 又存在分       Δ . 2 g i i T T x M  割 ，使      也可积

令T=T'+T"（T表示把T'与T"的所有分割点合并而成的新分割，则fs = sup / /f(x)g(x)- f(x")g(x") / /x',x"eA,≤sup (I g(x)llf(x)- f(x)+/f(x")llg(x)-g(x")// x,x" eA,)≤Mo! + Mo后页返回前页

前页 后页 返回 令T = T + T ( T T T 表示把   与 的所有分割点合 并而成的新分割 ), 则 sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,  Δ  fg i i  = −  f x g x f x g x x x        − sup ( ) ( ) ( )  g x f x f x    + −  f x g x g x x x ( ) ( ) ( ) ,      Δi . g i f  Mi + M

于是EoAr, <mEo, Ar, + mEo'Ar,TTT≤MEo,Ar, +MEw'ArT'Tn88MM<+8.二2M2M因此fg在[a,bl上可积返回前页后页

前页 后页 返回 于是    +  T i g i T i f i T i fg i x M  x M  x       +  T i g i T i f M i x M  x . 2 2     + = M M M M 因此 f g 在 [ a, b] 上可积

性质4 f 在[a,b]上可积的充要条件是:Vce(a, b),f在[a,cl与[c,bl上都可积.此时且有, f(x)dx = f. f(x)dx+ " f(x)dx证（充分性）若f 在[a,c] 与[c, b] 上可积,则V>0,[a,c]与[c,bl上分割T'与T",使得后页返回前页

前页 后页 返回 f a c c b 在 与 上都可积. 此时且有 [ , ] [ , ] ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = +        0, [ , ] [ , ] , a c c b T T 与 上分割 与 使得   性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b), 证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则