复旦大学：《统计热力学》课程教学资源（作业习题）练习二

1.对于B-E,F-D统计，利用S=kln2证明 μ-ei 馆kg7keT=±∑；1±e细7) S uN E 与宏观热力学公式G=E+PV-IS类比(G=μW),求出全同独立Bosons和Fermions组成的气体 _μ-8i 的状态方程（即PVeT的表达式）如果ekBT >1(此时B-E,F-D近似为玻尔兹曼统计)， 试证明这一状态方程即是理想气体的状态方程(PV=WeIT)(提示，利用当kl时，ln(1+x)= x-x2/2+.)。 2.证明对于B-E,F-D统计，体系的能量是 B=_Ohnz a邡 其中三是B-E,F-D统计的配分函数。 3.计算在1大气压下下列分子的退化温度，并与它们的正常沸点进行比较（请自己查数据）。 (提示，用Excel计算将非常方便。) He,Ne,Ar,Kr,CO2,N2,H2,Cl2,H2O. 4.对于理想气体，左边的箱子里有NA个O2分子，右边的分子有NB个O2分子。如果它们 是可区分的，用Boltzmann统计计算两个箱子里的气体的熵，它们的和Sa+Sa,Na+N个 分子（相当于把箱子的隔板抽去）的熵(SA+B),以及混合熵（即SAB-SA-Sg)。如果它们是不 可分辨的，试再求上述各项。 NA NB 5对于诺银千，利阳半经典量子统计证明英红分西数Q-广厂e-O的=B, 其中v为谐振子的振动频率（提示，写出谐振子的Hamilton函数，即p,q),并利用力常数 和频率的关系)。 6.证明对于正则系综和巨正则系综，熵都可以表示成下式： S=-kBN∑fn, 其中N是系综中体系的数目，是系综的几率分布函数

1. 对于 B-E, F-D 统计，利用 S = kBln证明  − − =    + i k T i i g e k T E k T N k S ln(1 ) B B B B 与宏观热力学公式 G=E+PV-TS 类比(G=N)，求出全同独立 Bosons 和 Fermions 组成的气体 的状态方程(即 PV/kBT 的表达式)。如果 k T i e B − − >> 1（此时 B-E，F-D 近似为玻尔兹曼统计）， 试证明这一状态方程即是理想气体的状态方程(PV=NkBT) （提示，利用当|x|<1 时，ln(1+x) = x-x 2 /2+…）。 2. 证明对于 B-E，F-D 统计，体系的能量是    = − ln E ， 其中是 B-E, F-D 统计的配分函数。 3. 计算在 1 大气压下下列分子的退化温度，并与它们的正常沸点进行比较（请自己查数据）。 （提示，用 Excel 计算将非常方便。） He, Ne, Ar, Kr, CO2, N2, H2, Cl2, H2O. 4. 对于理想气体，左边的箱子里有 NA 个 O2 分子，右边的分子有 NB个 O2 分子。如果它们 是可区分的，用 Boltzmann 统计计算两个箱子里的气体的熵，它们的和 SA+SB， NA+NB 个 分子（相当于把箱子的隔板抽去）的熵(SA+B)，以及混合熵（即 SA+B - SA-SB）。如果它们是不 可分辨的，试再求上述各项。 5. 对于谐振子，利用半经典量子统计证明其配分函数 = =    − e dpdq h h Q p q f 1 ( , ) ， 其中为谐振子的振动频率（提示，写出谐振子的 Hamilton 函数，即(p,q)，并利用力常数 和频率的关系）。 6. 证明对于正则系综和巨正则系综，熵都可以表示成下式： = − B  i i S k N f ln f ， 其中 N 是系综中体系的数目，fi 是系综的几率分布函数。 NA NB