《数学教学论》课程教学资源（PPT课件）数学思维

数学思维 ◆习题： ·1、什么是思维和数学思维？ 2、什么是数学逻辑思维、数学直觉思维和数 ◆ 学形象思维？ ◆3、什么是数学发散思维和数学创造性思维？ ·4、什么是数学思维的广阔性、深刻性、灵活 性、批判性和独创性？举例加以说明

数学思维  习题：  1、什么是思维和数学思维？  2、什么是数学逻辑思维、数学直觉思维和数 学形象思维？  3、什么是数学发散思维和数学创造性思维？  4、什么是数学思维的广阔性、深刻性、灵活 性、批判性和独创性？举例加以说明

数学思维 数学思维及其类型 (一)思维与数学思维 1思维 墨维馨合界箭馨鞠貌本版凳養绵律建閤委修括的和问接的反陕： 一是概括性，二是间接性。 (1)思维的概括性 思维的概括性是指思维所反映的不是个别的事物或事物的个别属性，而 反映一类事物所共有的本质特征以及事物所有的普遍或必然的联系 学分中，学生的许多知识都是通过概结认识而获得的。如，方程的 概念， 便是从各种方程：整式方程、分式方程、 无理方程、对数方程 工■ 角方程，包括高次的 特征 于宋负，抓任其同的本质特征 多正的，指数、数、灭数、表 式列 含有未知数”而得出的 由此可见，没有抽象概括，也就没有思维。概括水平是衡量思维水平的 重要标志

数学思维  一、 数学思维及其类型  (一)思维与数学思维  1思维  思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系概括的和间接的反映。 思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。  （1）思维的概括性  思维的概括性是指思维所反映的不是个别的事物或事物的个别属性，而 是反映一类事物所共有的本质特征以及事物所有的普遍或必然的联系。 在数学学习中，学生的许多知识都是通过概括认识而获得的。如,方程的 概念，便是从各种方程：整式方程、分式方程、无理方程、对数方程、 三角方程，包括高次的、多元的，指数、项数、元数、表达形式等特征 于不顾，抓住其共同的本质特征——“等式”、“含有未知数”而得出的。 由此可见，没有抽象概括，也就没有思维。概括水平是衡量思维水平的 重要标志

(2)思维的间接性 思维的间接性是指思维不是直接地，而是通过其他事物的媒介作用来 反映客观事物的。我们常说， 举一反 闻一知士，.由此及彼， 由通 远 等，这些都 是 指间接性的认识。原子的结构是人们感觉利知觉不 到的，而科学家凭借知识经验和思维的作用却研究出了原子的结构。 数学中的推理更具有鲜明的间接性。除去“直接归纳”（还盖论 证)外 :几平都是间接推理。正是由于思维具有间接性的特点， 所 人们才能对那些未曾感知过或根本无法感知的事物位出反映，从而使 的知识范围扩大、延伸：，同样也是由于思维具有间接性的特点 使性维 得人们能够预测未来，使行动有宜的、有计划地进行。思维的间接 是随着主 体知识经验的丰富而发展起来的，因此，知识和经验对思 能万看重要影响。 概括性和间 性是思维的两个基本特征， 它们之间是密切相关的。 由 于概韦 性 合使用，才使人们的思维不断地深化。此 患维 罗 辑 首的性和层次性等特征

（2）思维的间接性  思维的间接性是指思维不是直接地，而是通过其他事物的媒介作用来 反映客观事物的。我们常说，举一反三，闻一知十，由此及彼，由近 及远等，这些都是指间接性的认识。原子的结构是人们感觉和知觉不 到的，而科学家凭借知识经验和思维的作用却研究出了原子的结构。 至于数学中的推理更具有鲜明的间接性。除去“直接归纳”（还需论 证）外，几乎都是间接推理。正是由于思维具有间接性的特点，所以 人们才能对那些未曾感知过或根本无法感知的事物做出反映，从而使 人的知识范围扩大、延伸；同样也是由于思维具有间接性的特点，才 使得人们能够预测未来，使行动有目的、有计划地进行。思维的间接 性是随着主体知识经验的丰富而发展起来的，因此，知识和经验对思 维能力有重要影响。  概括性和间接性是思维的两个基本特征，它们之间是密切相关的。正 是由于概括性与间接性的结合使用，才使人们的思维不断地深化。此 外，思维还具有逻辑性、目的性和层次性等特征

2、数学思维 数学思维就是 以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语 言和符号为思 维的载体，并以认识发现薮学规律为自的一种思维。 数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征 同时由于数学及其研究方法的特点， 数学思维又具有不同于 般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数 规律进行的，具有数学的特点与操作方式 特别是作为思维 臀体的数字言的面约链和数字北式 符号化、抽象化、 结 化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风 数学维全要真肴概括性、整体性、相性和题性等特点

2、数学思维  数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律 认识数学本质和规律的理性活动。具体来说，数学思维就是 以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思 维的载体，并以认识发现数学规律为目的一种思维。  数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征， 同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于 一般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数学 规律进行的，具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维 载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化、抽象化、结 构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。 数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点

(1)概括性 数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这 是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结 构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有 的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽 象性是互为表里、互为因果的。数学思维方法、 思维模式的形成是数学思维概括水平的重要表现， 概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深 度、灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的 数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志

 （1）概括性  数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这 是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结 构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有 的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽 象性是互为表里、互为因果的。数学思维方法、 思维模式的形成是数学思维概括水平的重要表现， 概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深 度、灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的 数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志

(2)整体性 数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数 学对象基本属性的准确把握。数学科学本身是具 美不泰色的素 有 中。数 学思维的统一性，是就思维的宏观发展方 向而言的，它总是越来越多地抛弃对象的具体属 性简 ，用统一的理论概括零散的事实。这样既便于 化研究，又能洞察到对象的本质。数学思维中 事物基本属性的把握，本质上源于数学中的公 化力法。这种整体性的思维方武对人们思考 题其有深远的影响

 （2）整体性  数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数 学对象基本属性的准确把握。数学科学本身是具 有统一性的，人们总是谋求新的概念、理论，把 以往看来互不相关的东西统一在同一的理论体系 中。数学思维的统一性，是就思维的宏观发展方 向而言的，它总是越来越多地抛弃对象的具体属 性，用统一的理论概括零散的事实。这样既便于 简化研究，又能洞察到对象的本质。数学思维中 对事物基本属性的把握，本质上源于数学中的公 理化方法。这种整体性的思维方式对人们思考问 题具有深远的影响

(3)相似性 数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。 数学思维的相似性普遍存在，在创造性思维活动中发挥着 重要作用。数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的 比较、分析过程。数学中的相似表现有几何相似、关系相 似、结构相似与实质相似、静态相似与动态相似等。数学 思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求 数学规律、发现数学结论的主导方法。对相似因素和相似 关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提 高思维的深刻性，发展思维的创造性。因此，相似性是数 学思维的一个重要特征

 （3）相似性  数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。 数学思维的相似性普遍存在，在创造性思维活动中发挥着 重要作用。数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的 比较、分析过程。数学中的相似表现有几何相似、关系相 似、结构相似与实质相似、静态相似与动态相似等。数学 思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求 数学规律、发现数学结论的主导方法。对相似因素和相似 关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提 高思维的深刻性，发展思维的创造性。因此，相似性是数 学思维的一个重要特征

(4)问题性 数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是 数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由 于数学思维是解决数学间题的心智活动，它总是指向问题的 变换，表现为不断地提出问题、分析间题和解决问题，使数 学思维的结果形成间题的系统和定理的序列，达到掌握问题 对象的数学特征和关系结构的目的。因此，问题性是数学思 维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。 这一特点在数学思维方面的表现比任何思维都要突出。因此， 80年代世界数学教育将“问题解决”作为其主要任务是有道 理的

 （4）问题性  数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是 数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。由 于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的 变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，使数 学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题 对象的数学特征和关系结构的目的。因此，问题性是数学思 维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。 这一特点在数学思维方面的表现比任何思维都要突出。因此， 80年代世界数学教育将“问题解决”作为其主要任务是有道 理的

(二)数学思维的类型 1、数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻 辑思维、形象思维和直觉思维三类。 ◆ 2、按数学思维方式的层次分为：直观动作思维、 具体形象思维、抽象逻辑思维、动态辩证思维。 ·3、数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维 和发散思维两类。 4、数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思 维和创造性思维两类

（二）数学思维的类型  1、数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻 辑思维、形象思维和直觉思维三类。  2、按数学思维方式的层次分为：直观动作思维、 具体形象思维、抽象逻辑思维、动态辩证思维。  3、数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维 和发散思维两类。  4、数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思 维和创造性思维两类

1、数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻 辑思维、形象思维和直觉思维三类 (1)数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理 为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全 归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻 辑地表达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要 特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下 去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理 的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维 是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性 和清楚划分的思维过程为特征的

 1、数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻 辑思维、形象思维和直觉思维三类。  （1）数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理 为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全） 归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻 辑地表达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要 特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下 去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理 的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维 是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性 和清楚划分的思维过程为特征的