南京邮电大学光电工程学院：《电路分析基础》第6章 二阶电路分析

6二阶电路分析 6-1RLC串联电路的零输入响应 6-2RLC串联电路在恒定激励下 的零状态响应和全响应 6-3GCL并联电路分析 6-4一般二阶电路分析

6 二阶电路分析 6－1 RLC串联电路的零输入响应 6－2 RLC串联电路在恒定激励下 的零状态响应和全响应 6－3 GCL并联电路分析 6－4 一般二阶电路分析

二阶电路:由二阶微分方程描述的电 路 分析二阶电路的方法:仍然是建立微分 方程(二阶),并利用初始条件求解得到 电路的响应。它是一阶电路的推 本章主要讨论含两个(独立动态元件的 线性二阶电路,重点是讨论电路的零 输入响应

二阶电路：由二阶微分方程描述的电 路。 分析二阶电路的方法：仍然是建立微分 方程(二阶)，并利用初始条件求解得到 电路的响应。它是一阶电路的推广。 本章主要讨论含两个(独立)动态元件的 线性二阶电路，重点是讨论电路的零 输入响应

6-1RLC串联电路的零输入响应 为了得到图示RLC 串联电路的微分方 t u R 程,先列出KVL方 C 碳程)+u1(t)+u1()=k( 代元件VCRi=10)=(0=c业 d di UR(t)=Ri(t)=RC dt L(O=L LC dt dt 得 LC dt2 Fc qu +uc=us(t)

为了得到图示RLC 串联电路的微分方 程，先列出KVL方 程 ( ) ( ) ( ) ( ) R L C S u t + u t + u t = u t 代元件VCR 2 c 2 L c R c L C d d d d ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) t u LC t i u t L t u u t Ri t RC t u i t i t i t C = = = = = = = 得： ( ) d d d d C S C 2 C 2 u u t t u RC t u LC + + = 6－1 RLC串联电路的零输入响应

这是一个常系数非齐次线性二阶微分 方程。为了得到电路的零输入响应, 令ns(t)=0,得二阶齐次微分方程 d LLC d2不dwc+c=0 dt 其特征方程为LC2+RCs+1=0 由此解得特征根 R 1,2 Rx 2L 2L LC

这是一个常系数非齐次线性二阶微分 方程。为了得到电路的零输入响应， 令uS (t)=0，得二阶齐次微分方程 0 d d d d C C 2 C 2 + + u = t u RC t u LC 其特征方程为 1 0 2 LCs + RCs + = 由此解得特征根 L LC R L R s 1 2 2 2 1 2  −      ， = − 

特征根称为电路的固有频率。当电路元 件参数R,Lc的量值不同时,特征根可 出现以下三种情况 1R>2时,51S2为不相等的负实根。 2R<2,S1,52为共轭复数根。 3 R 2 ,S1,S2为相等的负实根

特征根称为电路的固有频率。当电路元 件参数R,L,C的量值不同时，特征根可 能出现以下三种情况： C L 1 R  2 时，s1 ,s2为不相等的负实根。 3 时，s1 ,s2 为相等的负实根。 2 时，s1 ,s2 为共轭复数根。 C L R  2 C L R = 2

1当两个特征根为不相等的实数根 时,称电路是过阻尼的 2当两个特征根为相等的实数根时 称电路是临界阻尼的 3当两个特征根为共轭复数根时, 称电路是欠阻尼的。 以下分别讨论这三种情况

1.当两个特征根为不相等的实数根 时，称电路是过阻尼的； 2.当两个特征根为相等的实数根时 ，称电路是临界阻尼的； 3.当两个特征根为共轭复数根时， 称电路是欠阻尼的。 以下分别讨论这三种情况

过阻尼情况k>2 电路的固有频率S1S2不相同的实数,齐 次微分方程的解为 uc(t)=Ae+2e 式中的常数A1,A2由初始条件确定。 令上式中的r=0+得(0-)=A4+A2 对uc()求导,再令=0+得 duc(t) i1(0 As,+As dt

一、过阻尼情况 电路的固有频率s1 , s2不相同的实数，齐 次微分方程的解为： s t s t u t A 1 A 2 ( ) e e C = 1 + 2 式中的常数A1，A2由初始条件确定。 令上式中的t=0+得 C 1 2 u (0 ) = A + A + 对uC (t)求导，再令t=0+得 C i A s A s t u t t (0 ) d d ( ) L 0 1 1 2 2 C + = + = + = C L R  2

联立求解,可得 (O+) S,uc(o) Suc(o) (O+) 将A1,A2代入v(t得到电容电压的零输 入响应,再利用KCL方程和电容的VCR 可以得到电感电流的零输入响应

联立求解，可得: (0 ) (0 ) 1 L 2 C 2 1 1       − + + C i s u s s A － ＝ 将A1，A2代入vC (t)得到电容电压的零输 入响应，再利用KCL方程和电容的VCR 可以得到电感电流的零输入响应。       − + + C i s u s s A (0 ) (0 ) 1 L 1 C 1 2 2 － ＝

当uc(0+)=Uo,(0+)=0时 (t) Uo st S,Uo U i(t)=C duc(t) dt l(s,s eat di (t)=L dt S t>0

( ) - 1 2 2 1 1 0 2 1 2 0 s t s t C e s s s U e s s s U u t － － ＝ 当uC (0+)=U0 ,iL (0+)= 0时 ( - ) d ( ) d ( ) ( ) 1 2 2 1 C 0 s t s t e e L s s U t u t i t C － = ＝ ( -s ) d d ( ) 1 2 1 2 2 1 0 s t s t L s e e s s U t i u t L － ＝ = t > 0

例1已知R=39,L=0.5H,C=0.25F uc(0+)=2Vi(0+)=1A,求uc(0和五() 的零输入响应。 解:由R,LC的值,计算出固有频率 R ,∥)2 22L)LC-3±32-8=3±1 t)=Ke+K,e (t 2t 4t (t≥0)

例1 已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC (0+)=2V,iL (0+)=1A，求uC (t)和iL (t) 的零输入响应。    − −  − = −  − = −  =      = −  4 2 3 3 8 3 1 1 2 2 2 2 1 2 L LC R L R s ， ( ) e e ( 0) 4 2 2 C = 1 +  − − u t K K t t t 则： 解：由R,L,C的值，计算出固有频率