黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 无穷极数（11.10）傅里叶级数的复数形式

第十节傅里叶级数的 复数形式 一、复数形式的标准形式 四二、小结

、复数形式的标准形式 以2L为周期的函数的傅里叶级数为 nTt T f∫ (x)=+2(anc0s";+b,sin";), n=1 ∫(J nur X)cos dx(n=0,1,2,…) nOte n f(asin-dx ( (n=1,2,3,) 上页

以2L为周期的函数的傅里叶级数为 ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n  +  = +  = ( )cos ( 0,1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin ( 1,2,3, ) 1 =   = − dx n l n x f x l b l l n 一、复数形式的标准形式

代入欧拉公式 e"te it it e cost= SInt= 2 2i f(x)=2+∑(an nTt nTtr +b sin 2 n= nTcx nTtr i Ncr Y +∑ ne te 2 2 2 e一e -=1 nTo nT 2 +∑ ib a.+ib e e 2 2 上页

代入欧拉公式 , 2 cos it it e e t − + = , 2 sin i e e t it −it − = ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n  +  = +  =   =  −   −                − −         = + + 1 0 2 n 2 2 l n x i l n x i l n n x i l n x i n e e ib e e a a   =  −        + + − = + 1 0 2 n 2 2 l n x i l n n n x i n n e a ib e a a ib

2 2 (n=1,2,3,) nTx nTtr =C+∑cn 々e1+C nTcr 于是有f(x)=∑Cne,傅里叶级数的复数形式 nTc C 中"2 f(x)edx(n=0,±1,±2,…) 傅里叶系数的复数形式 上页

(n = 1,2,3, )   =  − −        = + + 1 0 n l n x i n l n x i n C C e C e , 2 0 0 a 令C = , 2 n n n a ib C − = , 2 n n n a ib C + − = ( ) , l n x i n n f x C e   =−  于是有 =  ( ) ( 0, 1, 2, ) 2 1 =  =    −  − f x e dx n l C l l l n x i n 傅里叶系数的复数形式 傅里叶级数的复数形式

例设∫(x)是周期为2的周期函数,它在[-1,1) 上的表达式为∫(x)=e,将其展成复数形式 庄的傅氏级数 解 (1+inπ)x e dx 2 11-in兀 2 1+n22le cos nTt-e cos nT =(-1) 1-inTt sinh 1, 上页

例 设 f (x)是周期为 2 的周期函数,它在 [−1,1) 上的表达式为 x f x e − ( ) = ,将其展成复数形式 的傅氏级数. 解 − − −  =  1 2 1 1 c e e dx x in x n − − +  = 1 1 (1 ) 2 1 e dx in x [ cos cos ] 1 1 2 1 1 2 2  −  +  −  = −  − e n e n n in sinh1, 1 1 ( 1) 2 2 +  −  = − n n in

f(x)=∑ n几 1+n n=-00 2Sinh12切nm (x≠2k+1,k=0,±1,±2,… 上页

sinh1 . 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n in x n e n in f x  + =−   +  −  =  − (x  2k + 1,k = 0,1,2, )

士 生三、小结 傅里叶级数的复数形式f(x)=∑Cne 傅里叶系数的复数形式 nTcX 2L ∫(xld(m=0+1, 王注意:傅里叶级数的两种形式,本质上是一样 的.复数形式较简洁且只用一个算式计算系数 上页

二、小结 傅里叶级数的复数形式 ( ) , l n x i n n f x C e   =−  =  ( ) ( 0, 1, 2, ) 2 1 =  =    −  − f x e dx n l C l l l n x i n 注意:傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数． 傅里叶系数的复数形式

练习题 设∫(x)是周期为2的周期函数,它在[-1,1)上的 表达式为f(x)=e.试将∫(x)展开成复数形式的傅 里叶级数. 上页

练 习 题 里叶级数． 表达式为 ．试将 展开成复数形式的傅 设 是周期为 的周期函数，它在 上 的 ( ) ( ) ( ) 2 [ 1,1) f x e f x f x − x = −

练习题答案 fo (-1)”(1-inm InToX x)= ∑ single : 1+(nT) (x≠2k+1,k=0,±1,±2,…) 上页

练习题答案 ( 2 1, 0, 1, 2, ) sinh1 . 1 ( ) ( 1) (1 ) ( ) 2  + =    +  − −  =   =−   x k k e n in f x n in x n