黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章（10.7）斯托克斯（stokes）公式环流量与旋度

第七节斯托克斯( stokes)公式 环流量与旋度 四一、斯托克斯公式 四二、简单的应用 四三、物理意义一环流量与旋度 巴四、小结思考题

生一、斯托克斯( stokes).公式 定理为分段光滑的空间有向闭曲线是以 T为边界的分片光滑的有向曲面,T的正向与 的侧符合右手规则,函数P(x,y,z,Q(x,y,z) R(x,y,z)在包含曲醇在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 ORoQ、 OP aR )dzdx+ a0 aP )dxdy ax a ∑ Os dydz oz ax =f Pdx+ody+ Rdz 斯托克斯公式 上页

一、斯托克斯(stokes)公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式 定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y,z),Q( x, y,z), R( x, y,z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式

右手法则 ∑ T是有向曲面∑的 正向边界曲线 上证明如图 设Σ与平行于z轴的直线 ∑x=f(x,y) 相交不多于一点,并∑取 上侧,有向曲线C为∑的正 向边界曲线在xOy的投 y 影且所围区域Dyx 王页下

n    是有向曲面 的 正向边界曲线   右手法则 x y z o ( , ) :  z = f x y Dxy  C n 证明  设Σ与平行于z 轴的直线 相交不多于一点, 并Σ取 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 在 xoy 的 投 影.且所围区域Dxy . 如图

思路 曲面积分三重积分曲线积分 aP P aP dzdx dxdy ∑ z 23 B- cosr)ds 又:cosB=-f,cosy,代入上式得 caP aP APaP dzdx--dxdy= 十 )cos yds az O ∑ ∑ ay az 上页

思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分 dS y P z P dxdy y P dzdx z P ( cos  cos )   −   =   −        又 cos = − f y cos , 代入上式得f dS z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )cos   +   = −   −      

apaP 即 aP 、OP +。f,)d ay ∑ ay a 0Px,y,f(x,y)=。,+ aPaP ay ∫ dy OZ crap P d ∑ az a Plx, y,f(,y)lda 上页

f dxdy z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )   +   = −   −       即 P[x, y, f (x, y)]dxdy , y dxdy y P dzdx z P Dxy     = −   −    y f z P y P P x y f x y y    +   =   [ , , ( , )] 1

根椐格林公式 ∫ax,(x,)h=Px,/(x 即 P aP ∫-。,bd=Px,y,/(x,y)h ∑ Z O 平面有向曲线 庄k=①么b=手PxpM, 空间有向曲线 上页

  =   − c D P x y f x y dxdy P x y f x y dx y x y [ , , ( , )] [ , , ( , )] dxdy P x y f x y dx y P dzdx z P  c =   −    即 [ , , ( , )] 根椐格林公式 平面有向曲线 2 dxdy P(x, y,z)dx, y P dzdx z P    =   −   空间有向曲线

上同理可证 00 ∫mad-dh=x,y az OR OR dydz-o dzdx=R(x, y, z)dz, ax ∑ OR dQ OP OR )dydz )aid + a0 aP )dd小y ax ox a ∑ ay az xo1 Px+Q小y+Rd.故有结论成立 上页

dydz Q(x, y,z)dy, z Q dxdy x Q    =   −   同理可证 dzdx R(x, y,z)dz, x R dydz y R    =   −   dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz.. 故有结论成立

便于记忆形式 dydz dzdx dxa小 a 0aR 「Pdx+Qd+Rtz ∑ P Q 另一种形式 cosa cos B cosr aa 0 2/C x ay az =nPx+小y+Rz R 其中n={c0sa,c0B,c0sy} 上页

   = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos 另一种形式 n = {cos,cos  ,cos }  其中 便于记忆形式

Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 王(当是xm面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 上页

Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 (当Σ是xoy面的平面闭区域时)

生二、简单的应用 例1计算曲线积分+xc+yt, 王其中是平面x+y+2=1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 牛的法向量之间符合右手规则 解按斯托克斯公式,有 n 庄za trdv+ ddz dydz dzdx dxdy 上页

例 1 计算曲线积分 zdx + xdy + ydz  , 其 中 是平面x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 二、简单的应用 0 Dxy x y z n 1 1 1 解 按斯托克斯公式, 有 zdx xdy ydz  + +   = dydz + dzdx + dxdy