《数学分析》课程教学资源（试题集锦）第十九章 含参变量的积分

第十九章含参变量的积分 §1含参变量的正常积分 1.求下列极限: (1)lim dx (2)lim. x coax dx: dx (3)lim 2.求F(x),其中 (1)F(x) (2)F(x)=e: r rr( skds 3.设f(x)为连续函数, F(x) f(x+5+m)n15 求F(x) 4.研究函数 yf(x) F(y)=0x2+y 的连续性,其中f(x)是[0,1上连续且为正的函数 应用积分号下求导法求下列积分 (1In(a2-sin'xyx(a>l) (2)[In(I-2a cos x+a' xox(lake) (3)In(a'sin'xb2?xydx(a,b*0)

第十九章 含参变量的积分 §1 含参变量的正常积分 1． 求下列极限： (1) 1 2 2 0 1 lim a x a dx → − +  ； (2) 2 2 0 0 lim cos a x ax dx →  ； (3) 1 2 2 0 lim 1 a a a dx x a + → + +  . 2．求 ' F x( ) ，其中： (1) 2 2 ( ) x xy x F x e dy − =  ； (2) cos 2 1 sin ( ) x x y x F x e dy − =  ； (3) sin( ) ( ) b x a x xy F x dy y + + =  ； (4) 2 2 0 ( , ) x x t f t s ds dt         . 3．设 f x( ) 为连续函数， 2 0 0 1 ( ) ( ) x x F x f x d d h       = + +       ， 求 '' F x( ). 4．研究函数 1 2 2 0 ( ) ( ) yf x F y dx x y = +  的连续性，其中 f x( ) 是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2 2 2 0 ln( sin ) ( 1) a x dx a  −   ; (2) 2 0 ln(1 2 cos ) (| | 1) a x a dx a  − +   ； (3) 2 2 2 2 2 0 ln( sin cos ) ( , 0) a x b x dx a b  +   ；

arctan(a tan x) dx qak1) 6.应用积分交换次序求下列积分: (/I-xo dx(a>0,b>0) (2)sin In- ax(a>0,b>0) In 7.设∫为可微函数,试求下列函数的二阶导数: (1)F(x)=(x+y)(如 (2)F(x)=f()lx-y(a<b) 8.证明 0(x2+y 9.设F()=[hnyx2+y2d,问是否成立 F(0) n√x2 dx F(x)=e cose cos(xsin0y0 求证F(x)≡2丌 11.设∫(x)为两次可微函数,p(x)为可微函数,证明函数 u(x,1)=U(x-ar)+f(x+ar]+[ p(=)d= 2aJx-ar 满足弦振动方程 a2u,a1 及初始条件 l(x,O)=f(x)u1(x,0)=(x)

(4) 2 0 arctan( tan ) (| | 1) tan a x dx a x    . 6．应用积分交换次序求下列积分： (1) 1 0 ( 0, 0) ln b a x x dx a b x −    ； (2) 1 0 1 sin ln ( 0, 0) ln b a x x dx a b x x   −        . 7．设 f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0 ( ) ( ) ( ) x F x x y f y dy = +  ； (2) ( ) ( ) | | ( ) b a F x f y x y dy a b = −   ； 8．证明： 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) x y x y dx dy dy dx x y x y − −  + +     . 9．设 1 2 2 0 F y x y dx ( ) ln = +  ，问是否成立 1 ' 2 2 0 0 (0) ln | F x y dx y y =  = +   . 10．设 2 cos 0 ( ) cos( sin ) x F x e x d   =    求证 F x( ) 2   . 11．设 f x( ) 为两次可微函数， ( ) x 为可微函数，证明函数 1 1 ( , ) [ ( ) ( )] ( ) 2 2 x at x at u x t f x at f x at z dz a  + − = − + + +  满足弦振动方程 2 2 2 2 2 u u a t x   =   及初始条件 ( ,0) ( ), ( ,0) ( ) t u x f x u x x = =

§2含参变量的广义积分 1.证明下列积分在指定的区间内一致收敛: +oo cos(xy) dy(x≥a>0) too cos(x 00,x≥0) dx(P≥0) 1+x 2.讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性 (1) Vae dx(00),(i)x∈[0,b] (i)a0连续,12f()当A=a,=b皆收敛,且a3 (3)F(x)= 如r x∈(0,2)

§2 含参变量的广义积分 1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 2 2 0 cos( ) ( 0) xy dy x a x y +   +  ； (2) 2 0 cos( ) ( ) 1 xy dy x y + −   + +  ； (3) 1 ( ) x y y e dy a x b + −    ； (4) 1 cos ( 0, 0) xy p y e dy p x y + −    ； (5) 2 0 sin ( 0) 1 p x dx p x +  +  . 2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 2 0 (0 ) x e dx    + −    + ； (2) 0 xy xe dy + −  ， （i） x a b a   [ , ] ( 0) ，（ii） x b [0, ] ； (3) 2 ( ) x e dx  + − − − ， （i） a b    ，（ii） −   +  ； (4) 2 2 (1 ) 0 sin (0 ) x y e xdy x + − +    + . 3．设 f t() 在 t  0 连续， 0 t f t dt ( )  +  当   = = a b , 皆收敛，且 a b  。 求证： 0 t f t dt ( )  +  关于  在 [ , ] a b 一致收敛. 4．讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 2 2 0 ( ) x F x dy x y + = +  ， x − + ( , ) ； (2) 2 0 ( ) 1 x y F x dy y + = +  ， x  3 ； (3) 2 0 sin ( ) ( ) x x y F x dy y y   − = −  ， x(0,2)

5.若f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续,含参变量广义积分 I(x)= f(x, y)dy 在[a,b)收敛,在x=b时发散,证明I(x)在[a,b)不一致收敛 6.含参变量的广义积分/(x)=f(x,y)在a致收敛的充要条件是:对任 趋于+∞的递增数列{An}(其中A1=c),函数项级数 htS f(x, ydy u, (x) 在[a,b]上一致收敛 7.用上题的结论证明含参变量广义积分I(x) f(x,y)h在[a,b的积分交换次序 定理(定理19.12)和积分号下求导数定理(定理19.13) 8.利用微分交换次序计算下列积分 (1)n(a) (n为正整数,a>0) +a sin mxdx (a>0.b>0): (3)xe- sin bxdx(a>0) 9.用对参数的积分法计算下列积分: dx(a>0,b>0) sin mdx (a>0.6>0) 10.利用 d计算拉普拉斯积分 o COS ax l- 和 +oo xsinax L u,利用cd(>0)计第傅伦涅尔积分

5．若 f x y ( , ) 在 [ , ] [ , ) a b c  + 上连续，含参变量广义积分 ( ) ( , ) c I x f x y dy + =  在 [ , ) a b 收敛，在 x b = 时发散，证明 I x( ) 在 [ , ) a b 不一致收敛. 6．含参变量的广义积分 ( ) ( , ) c I x f x y dy + =  在 [ , ] a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于 + 的递增数列 { } A n （其中 A c 1 = ），函数项级数 1 1 1 ( , ) ( ) n n A n A n n f x y dy u x +   = =  =  在 [ , ] a b 上一致收敛. 7．用上题的结论证明含参变量广义积分 ( ) ( , ) c I x f x y dy + =  在 [ , ] a b 的积分交换次序 定理（定理 19.12）和积分号下求导数定理（定理 19.13）. 8．利用微分交换次序计算下列积分： (1) 2 1 0 ( ) ( ) n n dx I a x a + + = +  （ n 为正整数， a  0 ）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x − − + −  （ a b   0, 0 ）； (3) 2 0 sin x xe bxdx  + −  (   0 ). 9．用对参数的积分法计算下列积分： (1) 2 2 0 ax bx e e dx x − − + −  （ a b   0, 0 ）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x − − + −  （ a b   0, 0 ）. 10．利用 2 (1 ) 2 0 1 1 y x e dy x + − + = +  计算拉普拉斯积分 2 0 cos 1 x L dx x +  = +  和 1 2 0 sin 1 x x L dx x +  = +  . 11．利用 2 0 1 2 ( 0) xy e dy x x  + − =   计算傅伦涅尔积分

F- Sinx'dx=lrt sin x dx 和 I r+oo.x F xxx 2 12.利用已知积分 dx d 计算下列积分: too sin x too SIn vcos (3)oxe a ax(a>O (4) ea +hte)lar(a>0) 13.求下列积分: )「 -cos tdi 2)fln1+x2) 1+x 14.证明 ()mx)在,b(>1)上一致收敛 在(-∞,b](b<1)上一致收敛 §3欧拉积分

2 0 0 1 sin sin 2 x F x dx dx x + + = =   和 2 1 0 0 1 cos cos 2 x F x dx dx x + + = =   . 12．利用已知积分 0 sin 2 x dx x +  =  ， 2 0 2 x e dx + −  =  计算下列积分： (1) 4 2 0 sin x dx x +  ； (2) 0 2 sin cos y yx dy  y +  ； (3) 2 2 0 x x e dx  + −  ( 0) a  ； (4) 2 ( ) 0 ax bx c e dx + − + +  ( 0) a  ； (5) 2 2 2 ( ) a x x e dx + − + − ( 0) a  . 13．求下列积分： (1) 0 1 cos t e tdt t + −  ； (2) 2 2 0 ln(1 ) 1 x dx x + + +  . 14．证明： (1) 1 0 ln( ) xy dy  在 1 [ , ] b b ( 1) b  上一致收敛； (2) 1 0 y dx x  在 ( , ] − b ( 1) b  上一致收敛. §3 欧拉积分

1.利用欧拉积分计算下列积分: (1) SoVx-xax (3「F(-√)k sIn x cos (7)x2edx(n为正整数) CoSx (9)[2sin2"xdr(n为正整数) dx(n为正整数) 2.将下列积分用欧拉积分表示,并求出积分的存在域 -dx: 2+x (2) (3)2 tan"xdx x (5)xe- In xdx (a>0) 3.证明: (1) dx=-I(-)(n>0); (2)lim Idx=l 4.证明:

1．利用欧拉积分计算下列积分： (1) 1 0 1 4 1 dx − x  ； (2) 1 2 0 x x dx −  ； (3) 1 3 0 x x dx (1 ) −  ; (4) 2 2 2 0 ) a x a x dx −  ( 0) a  ； (5) 2 6 4 0 sin cos x xdx   ； (6) 4 0 1 dx x + +  ； (7) 2 2 0 n x x e dx + −  （ n 为正整数）； (8) 0 3 cos dx x  −  ； (9) 2 2 0 sin n xdx   （ n 为正整数）； (10) 1 1 0 1 ln n m x dx x −        ( n 为正整数). 2．将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 1 0 2 m n x dx x − + +  ； (2) 1 0 1 n m dx − x  ； (3) 2 0 tan n xdx   ； (4) 1 0 1 ln p dx x        ； (5) 0 ln p x x e xdx  + −  ( 0)   . 3．证明： (1) 1 1( ) n x e dx n n + − − =   ( 0) n  ； (2) lim 1 n x n e dx + − →+ − =  . 4．证明：

B(a,b= d (1+x) r(a)=s"xo-le"dx (s>0)

1 1 10 ( , ) (1 ) b a b x x B a b dx x − −+ + = +  ； 1 0 ( ) sx s x e dx    + − −  =  ( 0) s 