《数学分析》课程教学资源（试题集锦）习题课

习题课讲稿 任课教师:刘德辅导教师:刘全生 目的:本次习题主要是要求学生掌握复合函数的概念及复合函数的求法、用“任意”和“存 在”语言掌握函数有界和无界的概念;并对高中讲过的反函数及其定义域的求法、函数的奇 偶性求法进行了复习;最后要求学生掌握函数延拓概念 求复合函数 (1)(1=g(x,g(x0=x2-1,求(g(x),g((x)。 解:,且c,故°和g°的复合都有意义。 1|xk1 0x≠0 g((x))=g(sgn x) 1x=0 f(x)=x2-2x,g(x)= 4-x,x≥2 解:x=(-02c,=,且=-1c=8,故和g的 复合都有意义 x2-2xx<2 f(g(x))= 6x+8x≥2 g(f(x)) x2+2x+4x∈(-0.1-√1 求下列函数的反函数及反函数的定义域。 ),x∈R. e1) 解 整理得

习题课讲稿 任课教师:刘德 辅导教师:刘全生 目的：本次习题主要是要求学生掌握复合函数的概念及复合函数的求法、用“任意”和“存 在”语言掌握函数有界和无界的概念；并对高中讲过的反函数及其定义域的求法、函数的奇 偶性求法进行了复习；最后要求学生掌握函数延拓概念。 一、 求复合函数 (1) ，求 。 解： ，且 ，故 和 的复合都有意义。 (2) 解： ，且 ，故 和 的 复合都有意义。 二、 求下列函数的反函数及反函数的定义域。 (1) 解： ，整理得

2yex-1=0 解得 (只能取正号) x=In(+vlty 于是它的反函数为 y=(x+y+x),它的定义域为R xx∈(0,1) ∈[1,4] 2x∈(4,∞) 解:a)当∈(∞1)时,函数y=x的反函数是y=x,定义域为∞D b当x∈[4时,函数y=x的反函数是=,定义域为1 c)当e(时,函数y=2的反函数是y=lg2x,定义域为 (16,0) 那么,该函数的反函数为 (∞,1) y={√Fx16 log2xx∈(16,0) 、f()在D上无界,即->0.a(xsM,wxeD (1)用"和”彐语言,叙述函数()在D上无界。 叙述如下:对 VM>0,3xo E D, s.t. f(x)>M f(x) (2)证明函数 x在.1上是无界的 =+}=M+1>M 证明:对YM>0,取"M+1,则丽 即,对M>0 M+18tf(7)=M+1>M f(r) 故函数 x在.1上是无界的 四、证明函数的单调性

解得 （只能取正号） ， 于是它的反函数为 ，它的定义域为 R。 (2) 解：a)当 时，函数 的反函数是 ，定义域为 。 b)当 时，函数 的反函数是 ，定义域为 。 c) 当 时，函数 的反函数是 ，定义域为 。 那么，该函数的反函数为 三、 在 D 上无界，即 。 (1) 用 和 语言，叙述函数 在 D 上无界。 叙述如下：对 (2) 证明函数 在 上是无界的。 证明：对 ，取 ，则 即，对 ， ， 故函数 在 上是无界的。 四、 证明函数的单调性

(1)证明y=x在0∞上严格单调增加 证明:设≤0 故(x)>(x),所以y=x在0∞)上严格单调增加。 (2)证明y=a000a(故a40,得到a3-111n2 因为故万,得到()(),所以y=x在0上严格 单调增加。 五、关于函数奇偶性的证明。 (1)证明对任何的一个函数(x),存在奇函数(x和偶函数x), 使得 f(x)=-(1(x)+22(x) 证明:把(x)表示为如下形式 Jf(x)==[((x)-f(-x)+(f(x)+f(x)] 令 F(x)=f(x)-f(-x)2(x)=f(x)+f(-x f(x)=-(1(x)+22(x) 则 ,容易验证x是奇函数,()是偶函数, 于是结论成立。 (2)指出函数y=l(x++x)的奇偶性

(1) 证明 在 上严格单调增加。 证明：设 ，那么 故 ，所以 在 上严格单调增加。 (2) 证明 在 上严格单调减少。 证明：设 ，那么 因为 故 ， ，得到 ，所以 ， ，所以 在 上严格 单调减少。 (3) 证明 在 上严格单调增加。 解：设 ，那么 因为 故 ，得到 ，所以 在 上严格 单调增加。 五、 关于函数奇偶性的证明。 (1) 证明对任何的一个函数 ，存在奇函数 和偶函数 ， 使得 。 证明：把 表示为如下形式： 令 ， 则 ，容易验证 是奇函数， 是偶函数， 于是结论成立。 (2) 指出函数 的奇偶性

(√1+x2-x)(√1+x2+x) 解 In =l(+y+x2)=(),故此函数为奇函数。 (3)指出函数1+x的奇偶性。 f(x=ln In-=-f(x) 解 1+x 此函数的定义于为-1<x<1,故 此函数为奇函数。 ∫x,x∈[0D 六、把函数0.x=1延拓为实数轴上周期为2的奇函数。 图函数延拓后的图像

解： ，故此函数为奇函数。 (3) 指出函数 的奇偶性。 解： ,此函数的定义于为 ，故 此函数为奇函数。 六、把函数 延拓为实数轴上周期为 2 的奇函数。 图 函数延拓后的图像