黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章（10.5）对坐标的曲面积分

第五节对坐标的曲面积分 一、基本概念 概念的引入 四三、概念及性质 巴四、计算法 四五、两类曲面积分之间的联系 四六、小结思考题

一、基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 上页

一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧

王曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面, 典型双侧 曲 2 面 口 2 上页

n  曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面

典型单侧曲面:莫比乌斯带 上页

典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放

曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面△S△S在xoy面上的投影(△S) 为 r y (△a)x当cosy>0时 (△S)=-(△a)当cosy<0时 0 当cosy=0时 王其中{△),表示投影区域的面积 上页

曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: , S在xoy面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      = −      = 当 时 当 时 当 时      x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积.  xy 曲面 S 上的投影(S) xy为

生三、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量v,有向平面区域A求单位 时间流过A的流体的质量(假定密度为1). 流量 ①= Pcos9 =Ap·n=p·A 上页

二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v  ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v  0 n   A Av n v A Av      =  =   = 0 cos 流量

(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,y, =P(x,v, 3)i+e(x, y, j+R(x, y, k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x,y, z ),o(x,y,z), R(x,y, z) 都在∑上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 工工 c体的质量① y 上页

(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . x y z o 

1.分割把曲面Σ分成n小块△(△同时也代表 第小块曲面的面积), 在△S,上任取一点 z△S (5,m;5;) (5;,,5) 中则该点流速为可 工工工 法向量为n1 y 上页

x y z o  • Si ( , , ) i i i    i v  ni  把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , )  i i  i , 1. 分割 则该点流速为 . i v  法向量为 . ni 

,71,51 =P(5,,5)+Q(51,m,5)+R(5,m5), 王该点处曲面∑的单位法向量 庄=a+c+c0xk, 通过△s流向指定侧的流量的近似值为 工工工 vn△S;(i=1,2,…,n) 2.求和通过∑流向指定侧的流量 ①≈∑vAS 上页

该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k     cos cos  cos  0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i  i i =  ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i                 = + + = 2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 =     n i i ni Si v 1

=∑P(5,m,51)cosa1+Q(5,n,5)cs月 +R(5;,7,51)c0sy;|S =∑P(51,n25S)+Q(5,m,5)(△S) +R(5,;47)△S;)l 3.取极限λ0取极限得到流量Φ的精确值. ①=lim ∑|P(5,n,5)AS)+Q(5,m,5)(△S 九→>0 xz +R(5,57AS)l 上页

i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q +  =  + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1             ( , , )( ) ] [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S +  =   +  =          3.取极限  → 0取极限得到流量的精确值. ( , , )( ) ] lim [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 0 i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S +   =   +  = →          