黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 无穷极数（11.1）常数项级数的概念

第一节常数项级数的概念 西一、问题的提出 级数的概念 基本性质 巴四、收敛的必要条件 巴五、小结思考题

庄=、问题的提出 A1.计算圆的面积 R 正六边形的面积a1 午正十二边形的面积a1+a2 工工工 正3×2"形的面积a1+a2+…+m 即A≈a1+a2+…+an 3 3 2 x 3x 十 310100100010 上页

一、问题的提出 1. 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积 1 a a1 + a2 正 形的面积 n 32 a1 + a2 ++ an n A  a + a ++ a 即 1 2 = + + ++ n + 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 2

二、级数的概念 A1.级数的定义: 一般项 ∑ Ln=l1+L2+W3+…+Ln+ H=1 (常数项)无穷级数 级数的部分和 sn=1+2+…+n=∑吗 i=1 部分和数列 S1=l1,S2=L1+l2,S3=1+W2+u3 =L1+W2+…十… 上页

二、级数的概念 1. 级数的定义:  = + + ++ +  = n n un u1 u2 u3 u 1 (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2  级数的部分和 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 + u2 + u3  sn = u1 + u2 ++ un , 

中2.级数的收敛与发散: 当n无限增大时如果级数∑un的部分和 H-=1 数列n有极限s,即mSn=s则称无穷级数 n→ 庄∑2收敛这时极限叫做级数∑的和并 n: 写成S=1+u2+…+l2+… oo 王如果没有极限则称无穷级数∑4发散 王页下

2. 级数的收敛与发散: 当n 无限增大时,如果级数  n=1 un 的部分和 数列 n s 有极限s , 即 s s n n = → lim 则称无穷级数   n=1 un 收 敛,这时极限s 叫做级数  n=1 un 的 和.并 写成s = u1 + u2 ++ u3 + 如果 n s 没有极限,则称无穷级数  n=1 un 发散

即常数项级数收敛(发散)lms,存在(不存在) n→0 余项=S-S,=m1+m2+…=∑mnm 即Sn≈S误差为rn(imrn=0 无穷级数收敛性举例:Koch雪花 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 c类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 牛了面积有限而周长无限的图形“K雪花 上页

即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 余项 n n r = s − s = un+1 + un+2 +   = = + i 1 un i 即 s s n  误差为 n r (lim = 0) → n n r 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．

观察雪花分形过程 上设三角形 周长为P=3, 面积为A= 第一次分叉: 牛周长为=P, 王面积为A=4+31A;依次类推 9 上页

观察雪花分形过程 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P = +   = 面积为 周长为 依次类推 ; 4 3 3, 1 1 = = A P 面积为 周长为 设三角形 播放

第n次分叉: 丰周长为=ym=12 面积为 n=An-1+3{4"I(”A1lB =A,+3 +3·4 34+…+3.42()y4 9 9 =A1{1+[+ +()2+…+(m)21 339′39 39 n=2,3 圆[回 上页

) 1,2, 3 4 ( 1 1 = = − P P n n n ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n− n− = +  +   ++   n = 2,3,  周长为 面积为 ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A  第 n 次分叉：

于是有 limP=oo n→0 1 lim A =A,(1+ 3 3、23 n n→0 4=4(1+5)=5 9 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界 上页

于是有 =  → n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim 1 (1 − = + → An A n . 5 2 3 ) 5 3 = A1 (1+ = 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）．

庄例1讨论等比级数(几何级数 ∑q"=a+aq+mq2+…+mq"+…(a≠0) n=0 的收敛性 解如果q≠时 S,=a+mq+aq2+…+1 1-q1-q1-q 上页

例 1 讨论等比级数(几何级数)  = + + ++ +  = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a  0) 的收敛性. 解 如果q  1时 2 −1 = + + + + n sn a aq aq  aq q a aqn − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − =

当q时,limq"=a:ims=发散 如果q=时 当q=时,Sn=m→发散 工工工 当q=-1时,级数变为a-a+a-a+… lms不存在 发散 综上∑ n当q<时收敛 0当q≥时,发散 上页

当 q  1 时 , lim = 0 →  n n  q q a s n n −  = →  1 lim 当 q  1 时 , =  →  n n  lim q  =  →  n n lim s 收敛 发散 如果 q = 1 时 当 q = 1 时 , 当 q = − 1 时, sn = na →  发散 级数变为a − a + a − a +  n不存在 n s →  lim 发散 综上   = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 qq aq n n